Правило трапециевидное: Строительное правило.Виды и применение.Параметры и особенности

Сумма Римана, соответствующая разбиению PP и множеству SS, задается выражением ∑i = 1nf (xi *) Δxi, ∑i = 1nf (xi *) Δxi, где Δxi = xi − xi − 1, Δxi = xi − xi −1, длина подынтервала i .

Правило средней точки для оценки определенного интеграла использует сумму Римана с подынтервалами одинаковой ширины и средними точками mi, mi каждого подынтервала вместо xi * .xi *. Формально мы сформулируем теорему о сходимости правила средней точки следующим образом.

Теорема 3.3

Правило средней точки

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна на [a, b]. [A, b]. Пусть n — натуральное число и Δx = b − an.Δx = b − an. Если [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый из которых имеет длину Δx, Δx и mimi является средней точкой i -го подинтервала, установите

(3.10)

Тогда limn → ∞Mn = ∫abf (x) dx.limn → ∞Mn = ∫abf (x) dx.

Как видно на рисунке 3.13, если f (x) ≥0f (x) ≥0 над [a, b], [a, b], то ∑i = 1nf (mi) Δx∑i = 1nf (mi) Δx соответствует сумме площадей прямоугольников, аппроксимирующих область между графиком f (x) f (x) и осью x над [a, b].[а, б]. На графике показаны прямоугольники, соответствующие M4M4 для неотрицательной функции на отрезке [a, b]. [A, b].

Пример 3,39

Использование правила средней точки с M4M4

Используйте правило средней точки для оценки ∫01x2dx∫01x2dx с использованием четырех подинтервалов.Сравните результат с фактическим значением этого интеграла.

Решение

Каждый подынтервал имеет длину Δx = 1−04 = 14. Δx = 1−04 = 14. Таким образом, подынтервалы состоят из

Середины этих подинтервалов: {18,38,58,78}. {18,38,58,78}. Таким образом,

С

мы видим, что правило средней точки дает оценку, которая несколько близка к действительному значению определенного интеграла.

Пример 3,40

Использование правила средней точки с M6M6

Используйте M6M6, чтобы оценить длину кривой y = 12x2y = 12×2 на [1,4]. [1,4].

Решение

Длина y = 12x2y = 12×2 на [1,4] [1,4] составляет

Поскольку dydx = x, dydx = x, этот интеграл становится ∫141 + x2dx.∫141 + x2dx.

Если [1,4] [1,4] разделено на шесть подинтервалов, то каждый подынтервал имеет длину Δx = 4−16 = 12Δx = 4−16 = 12, а средние точки подынтервалов равны {54,74,94,114,134,154} . {54,74,94,114,134,154}. Если мы положим f (x) = 1 + x2, f (x) = 1 + x2,

Контрольно-пропускной пункт 3,22

Используйте правило средней точки с n = 2n = 2, чтобы оценить ∫121xdx.∫121xdx.

Правило трапеции

Мы также можем приблизить значение определенного интеграла, используя трапеции, а не прямоугольники. На рисунке 3.14 область под кривой аппроксимирована трапециями, а не прямоугольниками.

Фигура 3,14 Трапеции можно использовать для аппроксимации площади под кривой, тем самым аппроксимируя определенный интеграл.

В правиле трапеций для оценки определенных интегралов для аппроксимации площади под кривой используются трапеции, а не прямоугольники. Чтобы понять окончательную форму правила, рассмотрим трапеции, показанные на рис. 3.14. Мы предполагаем, что длина каждого подынтервала равна Δx.Δx. Во-первых, напомним, что площадь трапеции с высотой h и основаниями длиной b1b1 и b2b2 задается как Площадь = 12h (b1 + b2). Площадь = 12h (b1 + b2). Мы видим, что первая трапеция имеет высоту ΔxΔx и параллельные основания длиной f (x0) f (x0) и f (x1).f (x1). Таким образом, площадь первой трапеции на рисунке 3.14 составляет

Площади остальных трех трапеций

Следовательно,

После вычитания общего множителя 12Δx12Δx и объединения одинаковых членов получаем

Обобщая, формально сформулируем следующее правило.

Теорема 3,4

Правило трапеции

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна над [a, b]. [A, b]. Пусть n — натуральное число и Δx = b − an.Δx = b − an. Пусть [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый длиной Δx, Δx, с конечными точками в P = {x0, x1, x2…, xn} .P = {x0, x1, x2…, xn}. Комплект

(3.11)

Тогда limn → + ∞Tn = ∫abf (x) dx.limn → + ∞Tn = ∫abf (x) dx.

Прежде чем продолжить, давайте сделаем несколько замечаний по поводу правила трапеции. Прежде всего, стоит отметить, что

То есть LnLn и RnRn аппроксимируют интеграл, используя левую и правую конечные точки каждого подинтервала, соответственно. Кроме того, внимательное изучение рисунка 3.15 приводит нас к следующим наблюдениям об использовании правил трапеций и правил средней точки для оценки определенного интеграла неотрицательной функции. Правило трапеции имеет тенденцию систематически переоценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вверх, и систематически недооценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вниз. С другой стороны, правило средней точки имеет тенденцию несколько усреднять эти ошибки, частично переоценивая и частично недооценивая значение определенного интеграла для тех же самых типов интервалов.Это заставляет нас предположить, что в целом правило средней точки имеет тенденцию быть более точным, чем правило трапеции.

Фигура 3,15 Правило трапеции имеет тенденцию быть менее точным, чем правило средней точки.

Пример 3,41

Использование правила трапеции

Используйте правило трапеции для оценки ∫01x2dx∫01x2dx с использованием четырех подинтервалов.

Решение

Концы подынтервалов состоят из элементов множества P = {0,14,12,34,1} P = {0,14,12,34,1} и Δx = 1−04 = 14.Δx = 1−04 = 14. Таким образом,

Контрольно-пропускной пункт 3,23

Используйте правило трапеций с n = 2n = 2, чтобы оценить ∫121xdx.∫121xdx.

Абсолютная и относительная ошибка

Важным аспектом использования этих правил численной аппроксимации является вычисление погрешности их использования для оценки значения определенного интеграла.Сначала нам нужно определить абсолютную ошибку и относительную ошибку.

Определение

Если BB — наша оценка некоторой величины, имеющей фактическое значение A, A, то абсолютная ошибка определяется как | A-B |. | A-B |. Относительная ошибка — это ошибка в процентах от абсолютного значения, которая определяется как | A-BA | = | A-BA | · 100%. | A-BA | = | A-BA | · 100%.

Пример 3,42

Ошибка вычисления в Правиле средней точки

Вычислите абсолютную и относительную ошибку в оценке ∫01x2dx∫01x2dx, используя правило средней точки, приведенное в примере 3.39.

Решение

Расчетное значение ∫01x2dx = 13∫01x2dx = 13, а наша оценка из примера — M4 = 2164.M4 = 2164. Таким образом, абсолютная ошибка определяется выражением | (13) — (2164) | = 1192≈0,0052. | (13) — (2164) | = 1192≈0,0052. Относительная погрешность

Пример 3,43

Ошибка вычисления по правилу трапеции

Вычислите абсолютную и относительную погрешности в оценке ∫01x2dx∫01x2dx, используя правило трапеции, найденное в Примере 3.41.

Решение

Расчетное значение ∫01x2dx = 13∫01x2dx = 13, а наша оценка из примера — T4 = 1132.T4 = 1132. Таким образом, абсолютная ошибка равна | 13−1132 | = 196≈0,0104. | 13−1132 | = 196≈0,0104. Относительная ошибка равна

Контрольно-пропускной пункт 3,24

В более ранней контрольной точке мы оценили ∫121xdx∫121xdx как 24352435 с использованием T2.T2. Фактическое значение этого интеграла ln2.ln2. Используя 2435≈0,68572435≈0,6857 и ln2≈0,6931, ln2≈0,6931, вычислите абсолютную ошибку и относительную ошибку.

В двух предыдущих примерах мы смогли сравнить нашу оценку интеграла с фактическим значением интеграла; однако обычно у нас нет такой роскоши. В общем, если мы приближаем интеграл, мы делаем это, потому что мы не можем легко вычислить точное значение самого интеграла. Поэтому часто бывает полезно определить верхнюю границу ошибки при приближении интеграла.Следующая теорема предоставляет границы ошибок для средней точки и правил трапеции. Теорема формулируется без доказательства.

Теорема 3.5

Границы ошибок для средней точки и трапециевидных правил

Пусть f (x) f (x) — непрерывная функция над [a, b], [a, b], имеющая вторую производную f ″ (x) f ″ (x) на этом интервале. Если MM — максимальное значение | f ″ (x) || f ″ (x) | над [a, b], [a, b], то верхние границы ошибки при использовании MnMn и TnTn для оценки ∫abf (x) dx∫abf (x) dx равны

(3.12)

и

(3.13)

Мы можем использовать эти границы для определения значения nn, необходимого для гарантии того, что ошибка в оценке меньше заданного значения.

Пример 3,44

Определение количества используемых интервалов

Какое значение nn следует использовать, чтобы гарантировать точность оценки ∫01ex2dx∫01ex2dx с точностью до 0,01, если мы используем правило средней точки?

Решение

Начнем с определения значения M, M, максимального значения | f ″ (x) || f ″ (x) | по [0,1] [0,1] для f (x) = ex2.f (x) = ex2. Поскольку f ′ (x) = 2xex2, f ′ (x) = 2xex2, имеем

Таким образом,

Из уравнения 3.12 с ограничением погрешности получаем

Теперь решаем следующее неравенство для n: n:

Таким образом, n≥600e24≈8,24. N≥600e24≈8,24. Поскольку nn должно быть целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, выбор n = 9n = 9 гарантирует, что | ∫01ex2dx − Mn | <0.01. | ∫01ex2dx − Mn | <0,01.

Анализ

У нас могло возникнуть искушение округлить 8,248,24 в меньшую сторону и выбрать n = 8, n = 8, но это было бы неверно, потому что у нас должно быть целое число, большее или равное 8,24,8,24. Мы должны иметь в виду, что оценки ошибок дают верхнюю границу только для ошибки. Фактическая оценка на самом деле может быть гораздо лучшим приближением, чем указано в границах погрешности.

Контрольно-пропускной пункт 3,25

Используйте уравнение 3.13, чтобы найти верхнюю границу ошибки при использовании M4M4 для оценки ∫01x2dx.∫01x2dx.

Правило Симпсона

С помощью правила средней точки мы оценили площади областей под кривыми с помощью прямоугольников. В некотором смысле мы аппроксимировали кривую кусочно-постоянными функциями. С помощью правила трапеции мы аппроксимировали кривую с помощью кусочно-линейных функций. Что, если бы мы вместо этого аппроксимировали кривую с помощью кусочно-квадратичных функций? С правилом Симпсона мы поступаем именно так. Мы разбиваем интервал на четное количество подынтервалов одинаковой ширины.На первой паре подынтервалов аппроксимируем ∫x0x2f (x) dx∫x0x2f (x) dx с помощью ∫x0x2p (x) dx, ∫x0x2p (x) dx, где p (x) = Ax2 + Bx + Cp (x) = Ax2 + Bx + C — квадратичная функция, проходящая через (x0, f (x0)), (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), (x1, f (x1)) и (x2 , f (x2)) (x2, f (x2)) (рисунок 3.16). На следующей паре подынтервалов аппроксимируем ∫x2x4f (x) dx∫x2x4f (x) dx интегралом от другой квадратичной функции, проходящей через (x2, f (x2)), (x2, f (x2)), (x3, f (x3)), (x3, f (x3)) и (x4, f (x4)). (x4, f (x4)). Этот процесс продолжается с каждой последующей парой подынтервалов.

Фигура 3,16 С помощью правила Симпсона мы приближаем определенный интеграл, интегрируя кусочно-квадратичную функцию.

Чтобы понять формулу, которую мы получаем для правила Симпсона, мы начнем с вывода формулы для этого приближения для первых двух подинтервалов. В процессе вывода нам необходимо иметь в виду следующие отношения:

x2 − x0 = 2Δx, x2 − x0 = 2Δx, где ΔxΔx — длина подынтервала.

Таким образом,

Если мы аппроксимируем ∫x2x4f (x) dx∫x2x4f (x) dx тем же методом, мы увидим, что имеем

Комбинируя эти два приближения, получаем

Шаблон продолжается, когда мы добавляем пары подинтервалов к нашему приближению.Общее правило можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3,6

Правило Симпсона

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна над [a, b]. [A, b]. Пусть n будет положительным четным целым числом и Δx = b − an.Δx = b − an. Пусть [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый длиной Δx, Δx, с конечными точками в P = {x0, x1, x2,…, xn} .P = {x0, x1, x2, …, Xn}. Комплект

(3.14)

Затем,

Точно так же, как правило трапеций представляет собой среднее значение правил левой и правой руки для оценки определенных интегралов, правило Симпсона может быть получено из средней точки и правил трапеций с использованием средневзвешенного значения. Можно показать, что S2n = (23) Mn + (13) Tn.S2n = (23) Mn + (13) Tn.

Также возможно установить предел ошибки при использовании правила Симпсона для аппроксимации определенного интеграла. Граница ошибки определяется следующим правилом:

Правило: граница ошибки для правила Симпсона

Пусть f (x) f (x) — непрерывная функция над [a, b] [a, b], имеющая четвертую производную f (4) (x), f (4) (x) на этом интервале.Если MM — максимальное значение | f (4) (x) || f (4) (x) | по [a, b], [a, b], то верхняя граница ошибки при использовании SnSn для оценки ∫abf (x) dx∫abf (x) dx равна

(3,15)

Пример 3,45

Применение правила Симпсона 1

Используйте S2S2, чтобы получить приблизительное значение ∫01x3dx.∫01x3dx. Оцените оценку ошибки в S2.S2.

Решение

Поскольку [0,1] [0,1] делится на два интервала, каждый подынтервал имеет длину Δx = 1−02 = 12.Δx = 1−02 = 12. Конечные точки этих подынтервалов: {0,12,1}. {0,12,1}. Если положить f (x) = x3, f (x) = x3, то

S4 = 13 · 12 (f (0) + 4f (12) + f (1)) = 16 (0 + 4 · 18 + 1) = 14.S4 = 13 · 12 (f (0) + 4f (12 ) + f (1)) = 16 (0 + 4 · 18 + 1) = 14. Поскольку f (4) (x) = 0f (4) (x) = 0 и, следовательно, M = 0, M = 0, мы видим, что

Эта граница указывает на то, что значение, полученное с помощью правила Симпсона, является точным. Быстрая проверка подтвердит, что на самом деле ∫01x3dx = 14.∫01x3dx = 14.

Пример 3.46

Применение правила Симпсона 2

Используйте S6S6, чтобы оценить длину кривой y = 12x2y = 12×2 на [1,4]. [1,4].

Решение

Длина y = 12x2y = 12×2 по [1,4] [1,4] составляет ∫141 + x2dx.∫141 + x2dx. Если разделить [1,4] [1,4] на шесть подынтервалов, то каждый подынтервал будет иметь длину Δx = 4−16 = 12, Δx = 4−16 = 12, а конечные точки подынтервалов равны {1,32, 2,52,3,72,4}. {1,32,2,52,3,72,4}. Полагая f (x) = 1 + x2, f (x) = 1 + x2,

После подстановки имеем

Контрольно-пропускной пункт 3,26

Используйте S2S2 для оценки ∫121xdx.∫121xdx.

Раздел 3.6. Упражнения

Аппроксимируйте следующие интегралы, используя либо правило средней точки, либо правило трапеции, либо правило Симпсона, как указано.(Округлите ответы до трех десятичных знаков.)

∫12dxx; ∫12dxx; трапециевидная линейка; п = 5 п = 5

∫034 + x3dx; ∫034 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

∫034 + x3dx; ∫034 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 3н = 3

∫012x2dx; ∫012x2dx; правило средней точки; п = 6 п = 6

∫01sin2 (πx) dx; ∫01sin2 (πx) dx; правило средней точки; п = 3н = 3

Используйте правило средней точки с восемью делениями, чтобы оценить ∫24x2dx.∫24x2dx.

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫24x2dx.∫24x2dx.

Найдите точное значение ∫24x2dx.∫24x2dx. Найдите ошибку приближения между точным значением и значением, вычисленным с использованием правила трапеции с четырьмя делениями. Нарисуйте график, чтобы проиллюстрировать это.

Приблизьте интеграл к трем десятичным знакам, используя указанное правило.

∫01sin2 (πx) dx; ∫01sin2 (πx) dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

∫0311 + x3dx; ∫0311 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

∫0311 + x3dx; ∫0311 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 3н = 3

∫00.8e − x2dx; ∫00.8e − x2dx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

∫00.8e − x2dx; ∫00.8e − x2dx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

∫00.4sin (x2) dx; ∫00.4sin (x2) dx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

∫00.4sin (x2) dx; ∫00.4sin (x2) dx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

∫0.10.5cosxxdx; ∫0.10.5cosxxdx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

∫0.10.5cosxxdx; ∫0.10.5cosxxdx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

Вычислите ∫01dx1 + x2∫01dx1 + x2 точно и покажите, что результат равен π / 4.π / 4. Затем найдите приблизительное значение интеграла, используя правило трапеций с n = 4n = 4 делениями. Используйте результат, чтобы приблизить значение π.π.

Приблизительное значение ∫241lnxdx∫241lnxdx с использованием правила средней точки с четырьмя делениями до четырех знаков после запятой.

Приблизительное значение ∫241lnxdx∫241lnxdx с использованием правила трапеции с восемью делениями до четырех знаков после запятой.

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫00,8x3dx∫00,8x3dx с точностью до четырех знаков после запятой.

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫00,8x3dx.∫00,8x3dx. Сравните это значение с точным значением и найдите оценку ошибки.

Используя правило Симпсона с четырьмя делениями, найдите ∫0π / 2cos (x) dx.∫0π / 2cos (x) dx.

Покажите, что точное значение ∫01xe − xdx = 1−2e.∫01xe − xdx = 1−2e. Найдите абсолютную ошибку, если аппроксимируете интеграл с помощью правила средней точки с 16 делениями.

Дано ∫01xe − xdx = 1−2e, ∫01xe − xdx = 1−2e, используйте правило трапеции с 16 делениями, чтобы аппроксимировать интеграл и найти абсолютную ошибку.

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫03 (5x + 4) dx∫03 (5x + 4) dx, используя правило трапеций с шестью шагами.

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫451 (x − 1) 2dx∫451 (x − 1) 2dx, используя правило трапеций с семью частями.

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫03 (6×2−1) dx∫03 (6×2−1) dx, используя правило Симпсона с n = 10n = 10 шагами.

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫251x − 1dx∫251x − 1dx с использованием правила Симпсона с n = 10n = 10 шагами.

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫0π2xcos (x) dx∫0π2xcos (x) dx, используя правило Симпсона с четырьмя шагами.

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла ∫14 (5×2 + 8) dx∫14 (5×2 + 8) dx с величиной ошибки менее 0,0001, используя правило трапеций.

Определите значение n так, чтобы правило трапеции приближалось к ∫011 + x2dx∫011 + x2dx с ошибкой не более 0.01.

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла 23 (2×3 + 4x) dx∫23 (2×3 + 4x) dx с погрешностью менее 0,0001, используя правило трапеций.

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла ∫341 (x − 1) 2dx∫341 (x − 1) 2dx с величиной ошибки менее 0,0001, используя правило трапеций.

Используйте правило Симпсона с четырьмя делениями, чтобы аппроксимировать площадь под функцией плотности вероятности y = 12πe − x2 / 2y = 12πe − x2 / 2 от x = 0x = 0 до x = 0.4. х = 0,4.

Используйте правило Симпсона с n = 14n = 14 для аппроксимации (до трех десятичных знаков) площади области, ограниченной графиками y = 0, y = 0, x = 0, x = 0 и x = π / 2. .x = π / 2.

Длина одной дуги кривой y = 3sin (2x) y = 3sin (2x) определяется выражением L = ∫0π / 21 + 36cos2 (2x) dx.L = ∫0π / 21 + 36cos2 (2x) dx. Оцените L , используя правило трапеций с n = 6.n = 6.

Длина эллипса x = acos (t), y = bsin (t), 0≤t≤2πx = acos (t), y = bsin (t), 0≤t≤2π определяется как L = 4a∫ 0π / 21 − e2cos2 (t) dt, L = 4a∫0π / 21 − e2cos2 (t) dt, где e — эксцентриситет эллипса.Используйте правило Симпсона с n = 6n = 6 делениями, чтобы оценить длину эллипса, когда a = 2a = 2 и e = 1 / 3.e = 1/3.

Оцените площадь поверхности, образованную вращением кривой y = cos (2x), 0≤x≤π4y = cos (2x), 0≤x≤π4 вокруг оси x . Используйте правило трапеции с шестью делениями.

Оцените площадь поверхности, образованную вращением кривой y = 2×2, y = 2×2, 0≤x≤30≤x≤3 вокруг оси x- . Используйте правило Симпсона с n = 6.n = 6.

Скорость роста определенного дерева (в футах) определяется выражением y = 2t + 1 + e − t2 / 2, y = 2t + 1 + e − t2 / 2, где t — время в годах. Оцените рост дерева до конца второго года, используя правило Симпсона, используя два подинтервала. (Ответ округлите до сотых.)

[T] Используйте калькулятор, чтобы приблизительно определить ∫01sin (πx) dx∫01sin (πx) dx, используя правило средней точки с 25 делениями. Вычислите относительную ошибку приближения.

[T] Учитывая 15 (3×2−2x) dx = 100, 15 (3×2−2x) dx = 100, аппроксимируйте значение этого интеграла, используя правило трапеций с 16 делениями, и определите абсолютную ошибку.

Учитывая, что мы знаем фундаментальную теорему исчисления, зачем нам развивать численные методы для определенных интегралов?

В таблице представлены координаты (x, y) (x, y), которые определяют границу участка. Единицы измерения — метры. Используйте правило трапеции, чтобы оценить количество квадратных метров земли на этом участке.

Выберите правильный ответ. Когда для аппроксимации определенного интеграла используется правило Симпсона, необходимо, чтобы количество разбиений составляло ____

1. четное число
2. нечетное число
3. четное или нечетное число
4. , кратное 4

Сумма «Симпсон» основана на площади под ____.

Формула ошибки для правила Симпсона зависит от ___.

1. f (x) f (x)
2. f ′ (x) f ′ (x)
3. f (4) (x) f (4) (x)
4. количество ступеней

5.2+ 1`, то `du = 2x \ dx`.

Но вопрос не содержит «x \ dx» термин , поэтому мы не может решить ее ни одним из методов интеграции, которые мы встречали до сих пор.

Нам нужно использовать численных подходов. (Обычно так программное обеспечение Mathcad или графические калькуляторы выполняют определенные интегралы).

Мы можем использовать один из двух методов:

Правило трапеции

Мы увидели основную идею в нашей первой попытке решить область под арками проблема раньше.

Вместо прямоугольников, как в задаче с арками, мы будем использовать трапеции (трапеции), и мы обнаружим, что это дает лучшее приближение к области.

Примерная площадь под кривой находится путем добавления площадь всех трапеций.

(Напомним, что мы пишем «Δ x », чтобы обозначать «небольшое изменение в x ».)

Площадь трапеции

Теперь площадь трапеции (трапеции) определяется как:

`« Площадь »= h / 2 (p + q)`

Нам нужны «правильные» трапеции (что означает, что параллельные стороны находятся под прямым углом к ​​основанию), и они повернуты на 90 °, так что их новое основание фактически составляет h , как показано ниже, и h = Δ x .

y ₀

л ₁

«Deltax»

«Типичная» трапеция

Итак, общая площадь определяется по:

`» Площадь «~~ 1/2 (y_0 + y_1) Deltax +` `1/2 (y_1 + y_2) Deltax +` `1/2 (y_2 + y_3) Deltax + …`

Мы можем упростить это и дать нам правило трапеции , для трапеций `n` :

`» Площадь «~~` Deltax ((y_0) / 2 + y_1 + y_2 + y_3 + « {:… + (y_n) / 2) `

Чтобы найти `Δx` для области от` x = a` до `x = b`, мы используем:

`Deltax = (b-a) / n`

и нам еще нужно

`y_0 = f (а)`

`y_1 = f (a + Δx)`

`y_2 = f (a + 2Δx)`

`…`

`y_n = f (b)`

Примечание

• Мы получим лучшее приближение, если возьмем больше трапеций [до предела!].2 + 1} \ dx ≈ 1.150`

  На графике выше видно, что трапеции очень близки к исходной кривой, поэтому наше приближение должно быть близко к реальному значению. Фактически, с точностью до 3 знаков после запятой, целое значение составляет 1,148.

  Правило трапеции — обзор

  19.4 Определенные интегралы

  Мы рассмотрим три метода аппроксимации определенных интегралов путем замены подынтегральной функции легко интегрируемыми выражениями. Первый метод включает частный случай суммы Римана, используемой для определения определенного интеграла.

  Пусть f будет действительной функцией, непрерывной на [ a, b ]. Вспомните из главы 14, что мы формируем разбиение P [ a , b ] на n подинтервалов равной длины. Мы введем некоторые сокращенные обозначения, поскольку в этом разделе мы будем ссылаться на точки, которые определяют это разбиение, а также на промежуточные точки и значения подынтегрального выражения в этих точках.

  Обозначение 19.4.1 Пусть a, b ∈ ℝ с a , пусть n ∈ ℕ и определим h = ( b — a ) / n. Для каждого c ∈ ℝ мы пишем x _c вместо a + ch. В частности, точки в разделе: x ₀ = a + 0 h = a, x ₁ = a + 1 h,…, x _n = a + nh = b , в соответствии с обозначениями, используемыми в главе 14. Также, например, x _1/2 = a + (l / 2) h равно средняя точка [ x ₀ , x ₁ ].

  Далее, если подынтегральное выражение равно f ( x ), мы будем использовать f _c для обозначения f ( x _c ), так что, в частности, f _i = f ( x _i ) для i = 0,1,…, n .

  Правило прямоугольника Рассмотрим любой подынтервал [ α, β ] ⊆ [ a , b ] и определим постоянную функцию P: [ α, β ] → ℝ на

  Px = fα + β2.

  Функция P имеет значение f в средней точке интервала, на котором определено P . Мы получаем приближение к интегралу f на этом интервале,

  ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = β − αfα + β2,

  т.е. площадь под кривой y = f ( x ) между x = α и x = β аппроксимируется площадью прямоугольника с основанием [α, β ] и высотой определяется значением функции в средней точке интервала, как показано на рисунке 19.4.1.

  Рисунок 19.4.1.

  Принимая такое приближение на каждом из подинтервалов [ x _{i –1} , x _i ] длиной h , получаем

  ∫abfxdx = ∫x0x1fxdx + x2 ∫xn − 1xnfxdx≈hf (a + 1 / 2h) + hf (a + h + (1/2) h) + ⋅⋅⋅ + hf (a + n − 1h + (1/2) h)

  и поэтому мы получить правило прямоугольника

  (19.4.1) ∫abfxdx≈hf1 / 2 + f3 / 2 + ⋅⋅⋅ + f2n − 1/2.

  Трапецеидальная линейка Аналогичным образом мы можем взять прямую аппроксимацию подынтегрального выражения и определить функцию P : [ α , β ] → ℝ на

  Px = qx + r,

  , где q и r таковы, что P и f совпадают в конечных точках интервала, i.е. qα + r = f ( α ) и qβ + r = f ( β ). Константа q может быть равна нулю, так что P является либо линейным, либо постоянным. Это дает приближение

  ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = q2x2 + rxαβ = q2β2 − α2 + r (β − α) = β − α2α + βq + 2r = β − α2qα + r + qβ + r = β − α2fα + fβ .

  Обратите внимание, что нам не нужно явно определять константы q find r .

  В этом случае площадь под кривой аппроксимируется площадью трапеции с вершинами ( α , 0), ( β , 0), ( β , f ( β ) ) и ( α, f ( α )), как показано на рисунке 19.4.2.

  Рисунок 19.4.2.

  Говоря об этом приближении на каждом из n подынтервалов длиной h = ( b — a ) / n ,

  ∫abfxdx≈h3f0 + f1 + f1 + f2 + ⋅⋅⋅ + fn− 1 + fn

  , и это дает правило трапеции

  (19.4.2) ∫abfxdx≈h3f0 + 2f1 + ⋅⋅⋅ + 2fn − 1 + fn.

  Замечание Для определенного типа подынтегральной функции комбинация правил прямоугольника и трапеции может использоваться для получения границы ошибки.Для доказательства необходимой теоремы нам потребуется использовать тот факт, что вогнутая кривая лежит между хордой и касательной.

  Лемма 19.4.2 Пусть f — вещественная функция с f ‘непрерывной на [ a, b ] и положительной f на ( a, b ). Пусть c ∈ [ a, b ] и пусть касательная к графику f на ( c, f ( c )) и хорда через ( a, f ( a )) и ( b, f ( b )) имеют уравнения y = t ( x ) и y = h ( x ) соответственно.Тогда

  tx≤fx≤hxx∈ab

  и строгое неравенство сохраняется, за исключением t ( c ) = f ( c ), f ( a ) = h ( a ) и f ( b ) = h ( b ).

  Доказательство Тангенс имеет уравнение y — f ( c ) = f ‘ ( c ) ( x — c ). Следовательно, для x ∈ [ a, b ]

  (19.4.3) tx = fc + f′cx – c.

  Хорда имеет уравнение y − fa = fb − fab − ax − a. Следовательно, для x ∈ [ a, b ],

  (19.4.4) hx = fa + fb − fab − ax − a = b − xb − afa + x − ab − afb.

  Для любых s, t ∈ [ a, b ] с s ≠ t по теореме Тейлора о [ s, t ], существует u ∈ ( s, t ) такое, что

  ft = fs + f′st − s + f ″ u2t − s2.

  Следовательно, поскольку f ″ ( u )> 0,

  (19.4.5) ft> fs + f′st – s.

  Положив s = c , t = x в (19.4.5) и используя (19.4.3), получим

  (19.4.6) fx> txx∈ab – c.

  Положив s = x , t = a , затем s = x, t = b в (19.4.5) дает,

  (19.4.7) fa> fx – f′xx – ax ∈ab,

  (19.4.8) fb> fx + f′xb – xx∈ab.

  Сложение ( b — x ) × (19.4.7) и ( x — a ) × (19.4.8) дает для x ∈ ( a, b ),

  b –Xfa + x – bfb> b – xfx + x – afx = b – a / x.

  Следовательно, используя (19.4.4),

  (19.4.9) hx> fxx∈ab.

  Объединение (19.4.6) и (19.4.9) и наблюдение, что t ( c ) = f ( c ), f ( a ) = h ( a ) и f ( b ) = h ( b ), завершает доказательство.

  Теорема 19.4.3 Lei f — вещественная функция, причем f ′ непрерывна на [ a, b ] и f «положительна на ( a, b ). Пусть I _R и I _T будут приближениями к ∫ _a ^b f (x) dx, полученным с использованием правил прямоугольника и трапеции, соответственно, для простейшего случая, n = 1. Тогда

  (19.4.10) ИК <∫abfxdx

  Proof Постройте две трапеции с основанием [ a, b ] и параллельными сторонами, перпендикулярными оси x и проходящей через ( a , 0) и ( b , 0), соответственно. Во-первых, принимая наклонную сторону за соединение хорды ( a, f ( a )) и ( b , f ( b )), получаем трапецию, используемую в линейке трапеций, площадь I _T .Чтобы получить второе, возьмите касательную к кривой в средней точке (( a + b ) / 2, f (( a + b ) / 2)) как наклонную сторону (см. рисунок 19.4.3).

  Рисунок 19.4.3.

  Площадь второй трапеции — это средняя длина параллельных сторон, которая равна высоте трапеции в средней точке интервала, умноженной на длину интервала. Следовательно, площадь равна f (( a + b ) / 2) ( b — a ), что в точности соответствует приближению, полученному по правилу прямоугольника, I _R .

  По лемме 19.4.2 хорда лежит над кривой, а касательная — под ней. Таким образом,

  Пример 19.4.4 Используйте правила прямоугольника и трапеции для получения приближений к

  I = ∫011 − cosx2dx,

  , рассматривая четыре подинтервала. Получите дальнейшее приближение и оценку погрешности.

  Решение Пусть f ( x ) = 1 — cos ( x ² ). Для правила трапеции нам нужно значение подынтегральной функции в конечных точках, а для правила прямоугольника — значения в средней точке каждого подынтервала.В целом нам потребуются значения подынтегральной функции f _c при девяти значениях, приведенных в следующей таблице

  c	Xc	fc = f (x c )
  0 1/2 1	0 0 · 125 0 · 25	0 · 00000000 0 · 00012207 0 · 00195249
  3/2 2	0 · 325 0 · 5	0 · 00987141 0 · 03108758
  5/2 3 7/2 4	0,625 0 · 75 0 · 825 1	0 · 07532874 0 · 2 154075 27 2 0 · 45969769

  Поскольку существует четыре подинтервала [0, 1], h = 1/4 и из (19.4.1) и (19.4.2),

  IR = 14f1 / 2 + f3 / 2 + f5 / 2 + f7 / 2 = 0,0209IT = 18f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4 = 0,104241104

  Теперь f ′ ( x ) = 2 x sin ( x ² ) найти f « ( x ) = 2sin ( x ² ) + 4 x ² cos ( x ² )> 0 для x ∈ [0, 1]. Таким образом, по теореме 19.4.3 мы имеем 0 · 0209 < I <0 · 104241104. Принимая среднюю точку в качестве приближения, мы получаем

  I = 0 · 09766716 ± 0 · 00657395

  Задача 19.4.5 Покажите, как теорема 19.4.3 может быть адаптирована для использования с действительными функциями f таким образом, что f ‘ является непрерывным на [ a, b ] и f « ( x ) <0 (скорее что f « ( x )> 0) для x ∈ ( a, b ).

  Задача 19.4.6 Пусть I _R и I _T будут приближениями к интегралу, полученному с использованием правила прямоугольника и правила трапеции, соответственно, на интервалах n .Если I ′ _T — это трапециевидное приближение на 2 n подинтервалов к одному и тому же интегралу, покажите, что

  IT ′ = 12IR + IT.

  Используя это и результаты примера 19.4.4, получите дополнительное приближение к

  ∫011 − cosx2dx.

  Правило Симпсона Принимая другое приближение для подынтегрального выражения, мы рассматриваем функцию P : [ α, β ] → ℝ, определенную как

  Px = px2 + qx + r,

  , где любая из констант p, q и r могут быть равны нулю, так что P является квадратичной, линейной или постоянной функцией.Функция P должна согласовать с f в трех точках : конечных точках и средней точке [ α, β ]. Таким образом,

  (19.4.11) pα2 + qα + r = fα,

  (19.4.12) pβ2 + qβ + r = fβ

  и

  (19.4.13) pα + β22 + qα + β2 + r = fα + β2

  Аппроксимация интеграла, определенного с помощью P , составляет

  ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = 13px3 + 12qx2 + rxαβ = 13pβ2 − α2 + 12 (β2 − α2) + r (β − α) = β− α62pα2 + αβ + β2 + 3qα + β + 6r = β − α6pα2 + qα + r + pα + β2 + 2qα + β + 4r + pβ2 + qβ + r = β − α6fα + 4fα + β2 + fβ,

  , используя ( 19.4.11) — (19.4.13). Еще раз, нет необходимости вычислять константы p, q и r , определяющие приближение.

  Применение этого результата к каждому из n подынтервалов [ a, b ]

  ∫abfxdx≈h6f0 + 4f1 / 2 + f1 + f1 + 4f3 / 2 + f2 + ⋅⋅⋅ + fn − 1 + 4f2n− 1/2 + fn,

  и поэтому мы получаем правило Симпсона

  ∫abfxdx≈h6f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + 2f2 + ⋅⋅⋅ + 2fn − 1 + 4f2n − 1/2 + fn.

  Обычно это называется правилом Симпсона с 2 n + 1 ординатами , поскольку функция должна быть оценена в 2 n + 1 балл.Рассмотрим следующие случаи: правило Симпсона с тремя ординатами (один подынтервал длиной h = b — a ) с аппроксимацией

  (19.4.14) ∫abfxdx≈b − a6f0 + 4f1 / 2 + f1,

  с пятью ординатами (два подинтервала длиной h = ( b — a ) / 2),

  (19.4.15) ∫abfxdx≈b − a12f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + f2,

  и с семью ординатами (три подынтервала длиной h = ( b — a ) / 3),

  (19.4.16) ∫abfxdx≈b − a8f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + f2 + 4f5 / 2 + f3.

  Пример 19.4.7 Сравните точное значение

  ∫01dx1 + x2

  с приближением, полученным с помощью правила Симпсона с тремя ординатами.

  Решение Пусть f ( x ) = 1 / (1 + x ² ). Тогда

  ∫01fxdx = tan − 1×01 = π4≈0,78540

  и, из (19.4.14),

  ∫01fxdx≈1−06f0 + 4f1 / 2 + f1 = 161 + 165 + 12 = 4760≈0,78333

  Примечание 19.4.8 Для функции f , для которой существует f ⁽⁴⁾ и непрерывно на [ α, β ], может быть показано, что ошибка в правиле Симпсона (на одном подынтервале), а именно

  E = ∫αβfxdx − β − ​​α6fα + 4fα + β2 + fβ,

  задается как

  E = −β − α5180f4ξ24,

  для некоторых ξ ∈ ( α, β ).Отсюда следует, что если четвертая производная от f тождественно равна нулю, , то есть , если f ( x ) является многочленом степени меньше или равной трем, то правило Симпсона точное . Это неудивительно, если f является постоянным, линейным или квадратичным, поскольку в таких случаях P ( x ) = f ( x ). В случае, если f является кубическим, f и P не идентичны, но две конечные области между кривыми (см. Рисунок 19.4.4) имеют равные площади и поэтому точно отменяются.

  Рисунок 19.4.4.

  Задача 19.4.9 Непосредственно покажите, что если f ( x ) = x ³ , то

  ∫abfxdx = b − a6fa + 4fa + b2 + fb.

  Пример 19.4.10 Используйте правило Симпсона с пятью и семью ординатами, чтобы получить приблизительные значения для

  I = ∫04dxx2−3x + 4.

  Решение Для правила Симпсона с пятью ординатами мы имеем h = (4 — 0) / 2 = 2,

  94799 1/4

  c	x c	f c
  0	0	1/4
  1/2	1	1/2
  1	2	1/2
  3/2	3	3
  2	4	1/8

  где f _c = l / ( x ² _{c + 4) и (19.4.15) дает}

  I≈I5 = 4−01214 + 412 + 212 + 414 + 18 = 3524.

  Для правила Симпсона с семью ординатами имеем h = (4-0) / 3 = 4/3,

  16
  00 0 8

  c	x c	f c
  0	1/4
  1/2	2/3	9/22
  1	4/3	9/16
  3/2	3/2	2	1/2
  2	8/3	9/28
  5/2	10/3	9/46
  3	1	4

  и (19.4.16) дает

  I≈I7 = 4−01814 + 4922 + 2916 + 412 + 2928 + 4946 + 18 = 2324215939.

  До пяти знаков после запятой имеем

  I5≈1 · 45833 и I7≈1 · 45818.

  Задача 19.4.11 Пусть E _n обозначает ошибку в правиле Симпсона с использованием подинтервалов n , то есть 2 n + 1 ординаты. Предположим, что f — вещественная функция, такая что f ⁽⁴⁾ существует и является непрерывной на [ a, b ]. По теореме 7.3.11 существует M ∈ ℝ такое, что | f ⁽⁴⁾ ( x ) | ≤ M для всех x ∈ ℝ. FVom Note 19.4.8 имеем

  E1≤b − a5180M24.

  Выведите

  E2≤b − a5180M44

  и получите оценку для E _n .

  2.5: Численное интегрирование — середина, трапеция, правило Симпсона

  Первообразные многих функций либо не могут быть выражены, либо не могут быть легко выражены в замкнутой форме (то есть в терминах известных функций).Следовательно, вместо того, чтобы напрямую оценивать определенные интегралы этих функций, мы прибегаем к различным методам численного интегрирования для аппроксимации их значений. В этом разделе мы исследуем несколько из этих техник. Кроме того, мы исследуем процесс оценки ошибки при использовании этих методов. 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.Сравните результат с фактическим значением этого интеграла.

  Решение: каждый подынтервал имеет длину \ (Δx = \ dfrac {1−0} {4} = \ dfrac {1} {4}. \) Следовательно, подынтервалы состоят из

  \ [\ left [0, \ tfrac {1} {4} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {4}, \ tfrac {1} {2} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {2}, \ tfrac {3} {4} \ right], \, \ text {и} \, \ left [\ tfrac {3} {4}, 1 \ right]. \ nonumber \]

  Середины этих подинтервалов: \ (\ left \ {\ frac {1} {8}, \, \ frac {3} {8}, \, \ frac {5} {8}, \, \ frac {7 } {8} \ right \}.2} \),

  \ (M_6 = \ tfrac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {5} {4} \ right) + \ tfrac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {7} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {9} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac { 11} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {13} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ гидроразрыв {15} {4} \ right) \)

  \ (≈ \ frac {1} {2} (1,6008 + 2,0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810) = 8,1431 \) единиц. 2_1 \ frac {1} {x} \, dx.\)

  Подсказка

  \ (Δx = \ frac {1} {2}, \ quad m_1 = \ frac {5} {4}, \ quad \ text {и} \ quad m_2 = \ frac {7} {4}. \)

  Ответ

  \ (\ dfrac {24} {35} \)

  Правило трапеции

  Мы также можем приблизить значение определенного интеграла, используя трапеции, а не прямоугольники. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) область под кривой аппроксимирована трапециями, а не прямоугольниками.

  Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Трапеции можно использовать для аппроксимации площади под кривой, таким образом аппроксимируя определенный интеграл.

  Правило трапеций для оценки определенных интегралов использует трапеции, а не прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Чтобы понять окончательную форму правила, рассмотрим трапеции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Мы предполагаем, что длина каждого подынтервала равна \ (Δx \). b_af (x) \, dx≈ \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_0) + f (x_1) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( f (x_1) + f (x_2) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_2) + f (x_3) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( е (х_3) + е (х_4) \ большой).b_af (x) \, dx≈ \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +2 \, f (x_3) + f ( x_4) \ большой). \ nonumber \]

  Обобщая, формально сформулируем следующее правило.

  Правило трапеции

  Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — натуральное число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2…, x_n \}. \ )

  Набор

  \ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) ) + е (x_n) \ большой).nf (x_i) Δx. \)

  То есть \ (L_n \) и \ (R_n \) аппроксимируют интеграл, используя левую и правую конечные точки каждого подинтервала, соответственно. Вдобавок внимательное изучение рисунка \ (\ PageIndex {3} \) приводит нас к следующим наблюдениям об использовании правил трапеции и правил средней точки для оценки определенного интеграла неотрицательной функции. Правило трапеции имеет тенденцию систематически переоценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вверх, и систематически недооценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вниз.С другой стороны, правило средней точки имеет тенденцию несколько усреднять эти ошибки, частично переоценивая и частично недооценивая значение определенного интеграла для тех же самых типов интервалов. Это заставляет нас предположить, что в целом правило средней точки имеет тенденцию быть более точным, чем правило трапеции.

  Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Правило трапеции имеет тенденцию быть менее точным, чем правило средней точки.

  Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование правила трапеции

  Используйте правило трапеции для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

  Подсказка

  Набор \ (Δx = \ dfrac {1} {2}. \) Конечные точки подынтервалов являются элементами множества \ (P = \ left \ {1, \ frac {3} {2}, 2 \ right \}. \)

  Ответ

  \ (\ dfrac {17} {24} \)

  Абсолютная и относительная погрешности

  Важным аспектом использования этих правил численной аппроксимации является вычисление погрешности их использования для оценки значения определенного интеграла.Сначала нам нужно определить абсолютную ошибку и относительную ошибку.

  Определение: абсолютная и относительная погрешность

  Если \ (B \) — наша оценка некоторой величины, имеющей фактическое значение \ (A \), то абсолютная ошибка определяется как \ (| A-B | \).

  Относительная ошибка — это ошибка в процентах от фактического значения, выражаемая как \ [\ left \ lvert \ frac {A-B} {A} \ right \ rvert⋅100 \%. 2 \, dx \), используя правило средней точки, найденное в примере \ (\ PageIndex {1} \).2_1 \ frac {1} {x} \, dx \) быть \ (\ frac {24} {35} \) с использованием \ (T_2 \). Фактическое значение этого интеграла \ (\ ln 2 \). Используя \ (\ frac {24} {35} ≈0.6857 \) и \ (\ ln 2≈0.6931, \) вычислите абсолютную ошибку и относительную ошибку.

  Подсказка

  Используйте предыдущие примеры в качестве руководства.

  Ответ

  абсолютная погрешность \ (\ приблизительно 0,0074, \) и относительная погрешность \ (\ приблизительно 1,1 \% \)

  Границы ошибок на средней точке и трапециевидные правила

  В двух предыдущих примерах мы смогли сравнить нашу оценку интеграла с фактическим значением интеграла; однако обычно у нас нет такой роскоши.В общем, если мы приближаем интеграл, мы делаем это, потому что мы не можем легко вычислить точное значение самого интеграла. Поэтому часто бывает полезно определить верхнюю границу ошибки при приближении интеграла. Следующая теорема предоставляет границы ошибок для средней точки и правил трапеции. Теорема формулируется без доказательства.

  Границы ошибок для средней точки и трапецеидальные правила

  Пусть \ (f (x) \) — непрерывная функция над \ ([a, b] \), имеющая вторую производную \ (f » (x) \) на этом интервале.2} \, dx − M_n \ right \ rvert <0,01. \ Nonumber \]

  Анализ

  У нас могло возникнуть искушение округлить \ (8.24 \) в меньшую сторону и выбрать \ (n = 8 \), но это было бы неверно, потому что у нас должно быть целое число больше или равное \ (8.24 \). Мы должны иметь в виду, что оценки ошибок дают верхнюю границу только для ошибки. Фактическая оценка на самом деле может быть гораздо лучшим приближением, чем указано в границах погрешности.

  Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

  Используйте уравнение, чтобы найти верхнюю границу ошибки при использовании \ (M_4 \) для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx.\)

  Подсказка

  \ (f » (x) = 2, \) поэтому \ (M = 2. \)

  Ответ

  \ (\ dfrac {1} {192} \)

  Правило Симпсона

  С помощью правила средней точки мы оценили площади областей под кривыми с помощью прямоугольников. В некотором смысле мы аппроксимировали кривую кусочно-постоянными функциями. С помощью правила трапеции мы аппроксимировали кривую с помощью кусочно-линейных функций.{x_4} _ {x_2} f (x) \, dx \) с интегралом от другой квадратичной функции, проходящим через \ ((x_2, f (x_2)), \, (x_3, f (x_3)), \) и \ ((x_4, f (x_4)). \) Этот процесс продолжается с каждой последовательной парой подынтервалов.

  Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): С помощью правила Симпсона мы приближаем определенный интеграл, интегрируя кусочно-квадратичную функцию.

  Чтобы понять формулу, которую мы получаем для правила Симпсона, мы начнем с вывода формулы для этого приближения для первых двух подинтервалов.{x_4} _ {x_0} f (x) \, dx = \ frac {Δx} {3} (f (x_0) +4 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +4 \, f ( x_3) + f (x_4)). \ nonumber \]

  Шаблон продолжается, когда мы добавляем пары подинтервалов к нашему приближению. Общее правило можно сформулировать следующим образом.

  Правило Симпсона

  Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — положительное четное целое число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2,…, x_n \}.b_af (x) \, dx. \ nonumber \]

  Точно так же, как правило трапеций представляет собой среднее значение правил левой и правой руки для оценки определенных интегралов, правило Симпсона может быть получено из средней точки и правил трапеций с использованием средневзвешенного значения. Можно показать, что \ (S_ {2n} = (\ dfrac {2} {3}) M_n + (\ dfrac {1} {3}) T_n \).

  Также возможно установить предел ошибки при использовании правила Симпсона для аппроксимации определенного интеграла. {(4)} (x) \) на этом интервале.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

  Подсказка

  \ [S_2 = (\ frac {1} {3} Δx (f (x_0) + 4f (x_1) + f (x_2)) \]

  Ответ

  \ (\ frac {25} {36} \)

  ---

  Ключевые понятия

  • Мы можем использовать численное интегрирование для оценки значений определенных интегралов, когда замкнутая форма интеграла трудно найти или когда требуется приближенное значение только определенного интеграла.
  • Наиболее часто используемые методы численного интегрирования — это правило средней точки, правило трапеции и правило Симпсона.
  • Правило средней точки приближает определенный интеграл с использованием прямоугольных областей, тогда как правило трапеции приближает определенный интеграл с использованием трапецеидальных приближений.
  • Правило Симпсона приближает определенный интеграл, сначала аппроксимируя исходную функцию с помощью кусочно-квадратичных функций. b_af (x) \, dx \) с использованием площади под кусочно-квадратичной функцией.b_af (x) \, dx \) задается выражением \ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) + f (x_n) \ big). \ Nonumber \]

    Авторы

    • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

    • Отредактировал Пол Сибургер (Колледж Монро). Добавлены примечания к развертке области под параболой и исправлены опечатки в исходном тексте.
    .