Правило трапециевидное: Строительное правило.Виды и применение.Параметры и особенности

Строительное правило.Виды и применение.Параметры и особенности

Строительное правило – это ручной точный инструмент используемый при выполнении штукатурных работ и заливки стяжки пола. Он представляет собой ровную планку, обычно выполненную из алюминиевого профиля.

Где используется строительное правило
Инструмент является довольно универсальным, и может применяться для выполнения нескольких функций:
  • Разравнивания строительного раствора.
  • Контроля плоскости поверхности.
  • Черчения разметки.
  • Создания ровной плоскости для установки строительного уровня.

Главной функцией правила считается разравнивание строительного раствора. Поскольку инструмент имеет ровную поверхность, в частности рабочего ребра, то при протягивании с его помощью бетона по полу, или штукатурки по стене, смесь распространяется равномерно. Прижатое правило, также помогает срезать излишний раствор, который был нанесен ранее. Благодаря этому можно создать практически идеальную штукатурку или стяжку. Подготовленная с его помощью поверхность отлично подходит для выкладывания плитки, ламината и других отделочных материалов.

Также правило применяется для контроля плоскости поверхности. Поскольку оно ровное, то приложив его к полу или стене можно посмотрев на просвет оценить, насколько равномерно осуществляется касание инструмента. Если все ровное, то правило будет прикасаться по всей длине. Если же стена или пол изогнутые, то будут наблюдаться впадины. Можно нанести разметку карандашом на участки, где требуется применить выравнивающий раствор, чтобы штукатурить локально. После того как он будет нанесен, излишки срезаются тем же правилом, превращая взгорбленную поверхность в плоскость.

Также инструмент отлично подходит для

черчения разметки. Зачастую правило имеет большую длину чем линейка, поэтому его использовать удобнее. С его помощью можно нанести ровные линии для при выкладывании плитки, также они могут потребоваться при расклейке обоев или проведении малярных работ. Хотя правило считается строительным инструментом, его зачастую используют плотники и мебельные мастера, применяя в качестве устойчивой долговечной линейки для нанесения разметки. Пригодится оно и при резке больших листов гипсокартона.

Его можно применять не только для черчения, но и в качестве направляющей для монтажного ножа. При отсутствии плиткореза, иногда применяют правило, ребро которого выступает в роли упора при скольжении обычного стеклореза. Получаемая таким образом насечка на плитке потом переламывается, а образованный раскрой ничем не уступает по качеству использования специализированного инструмента. Во многом это заслуга именно правила, которое обеспечивает ровный ход стеклореза.

Инструмент также используется как упор для короткого строительного уровня. Большое правило благодаря своей ровной поверхности позволяет расширить параметры уровням, сделать больший захват, и проконтролировать соблюдение плоскости. Таким приемом часто пользуются при установке вертикальных штукатурных маяков на стены. Также правило может помочь в этом и без применения уровня, если предварительно зафиксировать на потолке подвес. Инструмент выставляется по его линии и прижимает маяк, выравнивая его по всей плоскости равномерно. Тандем правила и короткого уровня также подходит и при выполнении стяжки пола.

Формы

Существуют четыре формы данного инструмента. Каждая из них хорошо себя зарекомендовала при выполнении определенных строительных задач, В связи с этим нельзя сказать, какая самая лучшая.

Строительное правило бывает:
  • h-образное.
  • Трапециевидное.
  • Прямоугольное.
  • Угловое.
h-образные

Такой инструмент является самым дешевым и легким. Его главным недостатком является низкий уровни жесткости. В связи с этим, данное правило не подходит для выполнения тяжелой работы, когда на его поверхности создается нагрузка. Главное предназначение h -образного инструмента заключается в выполнении штукатурки стен легкими растворами. В первую очередь это гипсосодержащие смеси. Конечно, это довольно эластичный инструмент под нагрузкой, но работая с легкой штукатуркой, он не деформируется. Небольшой вес не создает дополнительной нагрузки на руки штукатура, поэтому используя такое строительное правило усталость наступает гораздо позже.

h-образная форма хорошо ложится в руку, когда нужно тянуть раствор снизу вверх. Наличие только одной стенки на рабочей кромке делает ее довольно острой, что позволяет проводить срез лишнего материала. Это необходимо, когда образовываются наплывы штукатурки под ее весом. После нанесения на стену слой может быть ровным, но постепенно раствор не имея хорошего сцепления немного опускается вниз, образовывая волну, которую отлично срезает h-образный инструмент.

Трапециевидное строительное правило

Пожалуй одно из самых универсальных. Оно в основном применяется тоже для обработки стен, но благодаря усиленной конструкции может работать с тяжелыми цементными штукатурками. Его рабочая часть имеет заострение, что также позволяет хорошо срезать наплывы. Это более жесткий инструмент, имеющий больший вес. Трапециевидное правило имеет две стенки, и как минимум одно ребро жесткости. Оно сделано в виде полукруга. Помимо укрепления конструкции, наличие ребра делает хороший упор для рук, необходимый при выполнении работы.

Бывает усиленное правило, внутри которого функцию главного элемента жесткости выполняет трубка, идущая по всему периметру. Такой инструмент весит значительно больше, но выдерживает значительный вес, не прогибаясь, что особенно важно, если инструмент имеет большую длину.

Прямоугольные

Такое строительное правило внешне немного напоминает уровень. Зачастую в нем также имеются колбы с пузырьком воздуха для контроля вертикали и горизонтали. Основное предназначение данного инструмента заключается в проведение выравнивания стяжки пола. Его форма позволяет выдерживать большие нагрузки, что особенно важно учитывая, что на полах используется тяжелый бетон, в состав которого кроме песка входит отсев.

Недостатком такой формы является отсутствие острых углов, что делает неудобным срезание легких штукатурок на стенах. Также без заостренной стороны не так удобно контролировать плоскость, просматривая линию примыкания между инструментом и поверхностью на просвет. Хотя обычно у таких правил и имеются спиртовые колбы с пузырьком воздуха, что позволяет их использовать как уровень, но со временем его настройки сбиваются. Это связано с тяжелой работой правила. Оно часто падает, по нему иногда стучат, чтобы придавить маяки. Создаваемая в результате вибрация негативно влияет на колбы с пузырьками. Они немного проворачиваются, поэтому уже не показывают правильный уровень.

Угловые

Строительное правило углового типа состоит из двух частей закрепленных между собой под углом 90 градусов. Оно предназначено для выравнивания раствора в двух плоскостях. С его помощью можно контролировать линии схода двух стен, или стены и пола. В результате возможно получить ровный прямой угол, что особенно важно для дальнейшей качественной и привлекательной чистовой отделки. Такой инструмент применяют только профессиональные строители и отделочники, поскольку он весьма специализированный и кроме как для штукатурки, больше ни на что не пригоден. Конечно, его можно применять как уголок 90 градусов, но инструмент массивный, что делает это неудобным.

Длина инструмента

Строительное правило может иметь различную длину. Предлагаемые в промышленном производстве образцы встречается с параметрами в 1, 1,5, 2, 2,5 и 3 м. Иногда бывают и более короткие правила, предназначенные для специфических работ. В большинстве случаев такой инструмент делается вручную при разрезе длинных правил.

Чем длиннее инструмент, тем скорее выполнение штукатурных работ. При этом нужно учитывать, что от увеличения размеров возрастает и нагрузка. В связи с этим при одиночной работе редко применяется инструмент длиной больше 2 м, и то только с легкими гипсовыми штукатурками. Верхняя граница в 2 м вполне под силу и для тяжелого бетона, но только при заливке стяжки на полу. Правила в 2,5 и 3 м используются только в паре. При штукатуре их тянут вдвоем.

Материал изготовления

В основном весь представленный в продаже инструмент сделан из алюминия. Иногда можно встретить усиленные правила, у которых имеется стальная вставка. Такой инструмент служит дольше в несколько раз, но его цена на порядок выше. Фактически нет смысла в его покупке, поскольку ресурс его остатка едва ли окупиться с выгодой. Практически, он стоит в 3 раза дороже алюминиевого, и служит тоже в 3 раза дольше. По цене будет одинаково, что купить 3 алюминиевых правила, что со стальной вставкой.

Рекомендации по использованию инструмента

При работе строительным правилом на маяках необходимо их устанавливать с таким интервалом, чтобы инструмент перекрывал их, имея свободный запас по бокам в четверть своей длины. Это необходимо для того, чтобы правило не соскальзывало. Дело в том, что его гораздо легче вести растягивая раствор делая волнообразные движения вправо и влево. Если вести все прямо, то нагрузка увеличивается в несколько раз.

Работая с правилом нужно стараться поменьше его ронять, не ставить на него тяжелые предметы и не наступать. Алюминиевый профиль довольно эластичный, и от созданного давления может загнуться, нарушив геометрию ровной стороны. В результате строительное правило потеряет в точности.

Похожие темы:

различные профили, каталог моделей ведущих производителей.

Полезная информация

Алюминиевое правило – строительный инструмент, представляющий собой длинную узкую рейку, которая предназначена для выравнивания слоя штукатурки на горизонтальных и вертикальных поверхностях, в том числе и по маякам. В нашем каталоге представлен большой выбор этого инструмента.

Каждое правило изготавливается методом прессовки профиля из алюминиевого сплава, легкого и прочного. Не подвержено коррозии, имеет долгий срок службы и максимально простую конструкцию.

Инструменты различаются по форме (сечению). В этом разделе представлено правило алюминиевое в форме трапеции. Это самый востребованный вид правила у профессионалов. Оно имеет выемку под пальцы для надежного захвата, а также две рабочие поверхности – прямую и косую, что делает процесс удаления излишков раствора, особенно в углах, более удобным.

Как выбрать строительное правило?

Следует обратить внимание на длину инструмента. В нашем интернет-магазине представлены правила от 1 до 3 м.

  • до 1,5 м — подойдут для обработки узких, небольших по размеру участков. Такой инструмент можно применять одному человеку.
  • 2 – 3 м — для больших поверхностей наилучшим вариантом будет использование подобного длинного правила. Его применяют вдвоем, удерживая с обоих концов.

Кроме длины обратите внимание на профиль алюминиевого правила. Инструменты, что имеют специальную форму «двухват», удобнее, так как их легче удерживать, так как оно имеет выемку под пальцы для надежного захвата, а также две используемые поверхности – прямую и косую, что делает процесс удаления излишков раствора и работу в углах более удобными.У нас также представлено строительное правило алюминиевое трапеция, которое также пользуется большой популярностью при отделочных работах.

На любой качественный инструмент распространяется гарантия производителя. У нас представлены правила алюминиевые ЭКСПЕРТ ЗУБР, хорошо зарекомендовавшие себя у профессионалов, а также модели других производителей, не уступающих по качеству, с которыми будет удобно и эффективно работать.

Правило трапециевидное алюминиевое 2,5м — Yato

Правило трапециевидное алюминиевое 2,5м — Yato

е-мейл: [email protected], тел.:+48 71 32 46 289

Описание продукта

Profesjonalna trapezowa łata budowlana wykonana z aluminiowego profilu 100×18 mm. Grubość ścian 1,1 mm. Końce łaty zabezpieczone odbojnikami z wysoko udarowego tworzywa.

Назначение / Применение

Przeznaczona do profesjonalnych prac budowlanych.

Технические характеристики

СимволYT-3083
EAN5906083930836
МаркYato
Waga brutto (kg)
1.8000
Master Carton MC10
Pal180
Длина [мм]2500
Długość [m]2,5

ИНСТРУМЕНТЫ БРЕНДЫ YATO

 

Прочность, идеальное качество изготовления, отличные материалы, сталь, высококачественные технические характеристики продуктов YATO , которые предлагают три направления: служба, строительные и садовые. Ручные и пневматические инструменты YATO с успехом используются специалистами во многих областях экономики. Исключительные долговечность и прочность предрасполагают YATO для использования в интенсивных промышленных и обслуживания.

Просмотр всех товаров от Yato

Смотрите в польской магазинеПечать

TOYA S.A. основана во Вроцлаве, ул. Sołtysowicka 13-15, почтовый индекс 51-168, вошел в реестр Национального судебного реестра, который ведет VI экономического отдела окружного суда для Вроцлава — Фабрычна под номером KRS 0000066712, акционерный капитал полностью оплачен 7 833 084,10 злотых; NIP: 895-16-86-107; No. Regon: 932093253
Все материалы, в частности, изображений, баннеров, видеоматериалов, рисунков и текстов, опубликованных на www.yato.com защищены авторским правом и не могут быть скопированы, опубликованы и использованы в любом виде без письменного разрешения TOYA S.A.

Инструменты для штукатурки: Правило трапециевидное Maurerfreund

Правило в форме трапеции предназначено для выравнивания слоя штукатурки на горизонтальных и вертикальных поверхностях, в том числе и по маякам. Изготовлено из алюминиевого сплава высокой прочности. Имеет дополнительное ребро жесткости. Специальные пластмассовые заглушки предотвращают попадание строительных смесей внутрь профиля. Это инструмент, с помощью которого проводят чистовые отделочные работы и добиваются максимальной ровности и гладкости поверхностей. Позволяет выравнивать большие поверхности.

Преимущества

  • Комфорт в эксплуатации
  • Обладает небольшим весом
  • Имеет эргономичную форму трапеции
  • Прочное и надежное
  • Поверхность не подвержена коррозии, так как выполнена из алюминия
  • Удобно чистить от бетонных и цементных смесей

Артикул: 5040-20

Материал: алюминий

Длина: 2000 мм

Правило в форме трапеции предназначено для выравнивания слоя штукатурки на горизонтальных и вертикальных поверхностях, в том числе и по маякам. Изготовлено из алюминиевого сплава высокой прочности. Имеет дополнительное ребро жесткости. Специальные пластмассовые заглушки предотвращают попадание строительных смесей внутрь профиля. Это инструмент, с помощью которого проводят чистовые отделочные работы и добиваются максимальной ровности и гладкости поверхностей. Позволяет выравнивать большие поверхности.

Преимущества

  • Комфорт в эксплуатации
  • Обладает небольшим весом
  • Имеет эргономичную форму трапеции
  • Прочное и надежное
  • Поверхность не подвержена коррозии, так как выполнена из алюминия
  • Удобно чистить от бетонных и цементных смесей

Артикул: 5040-20

Материал: алюминий

Длина: 2500 мм

Правило трапеция (3м)

Правило трапеция используются при ремонтных работах как к примеру  для выравнивания растворов, также используется во время проведения штукатурных работ

При проводимых отделочных работах штукатурный инструмент

является самым востребованным видом строительного инструмента. Его применяют на различных этапах отделки стен: начиная от грунтования и заканчивая чистовым шлифованием. Минимальный комплект строительных инструментов, необходимых для создания ровного штукатурного слоя, включает в себя кельму, мастерок, шпатель, правило, полутерку и терку.

Штукатурное правило трапеция – это строительный инструмент, с помощью которого при проведении так называемых чистовых отделочных работ добиваются максимальной гладкости и ровности стеновых поверхностей. Ей можно подрезать (снимать) небольшие неровности. Штукатурное правило широко применимо для этих целей при проведении различных штукатурных и строительных работ. Это изделие являет собой полую «доску», выполненную в трапециевидной форме, как правило, имеющую пластиковые заглушки.

Для производства используют высокопрочный алюминиевый сплав. Важную роль при работе с данным инструментом играет имеющееся дополнительное ребро жесткости. Предусмотренные специальные элементы обеспечивают защиту внутреннего профиля от воздействия строительных смесей и растворов. Инструмент характеризуется легкостью, практичностью, очень удобен в использовании. Строительное правило

обеспечивает высокую степень точности при выравнивании больших площадей раствором за максимально короткое время.

При изготовлении этого профессионального инструмента применяют специальный прессованный профиль, который оснащается дополнительными насадками. Используемый профиль обеспечивает длительность эксплуатационного срока инструмента, полное отсутствие каких-либо коррозийных процессов.

Правило-трапеция, изготовленная из такого профиля, весьма удобна в работе штукатура и к тому же легко очищается от цементных и бетонных смесей. Благодаря использованию при изготовлении прочного материала правило-трапеция штукатурное имеет высокое значение коэффициента полезного действия. Штукатурное правило типа «трапеция» может иметь различную длину: от 1 до 3 метров.

На практике именно алюминиевое трапециевидное правило чаще других видов используется мастерами. Однако также существует штукатурное правило, имеющее h-образный профиль, с характерно большей площадью рабочей поверхности выравнивателя.

На рынке строительных инструментов в настоящее время правила трапециевидной формы широко представлены производителями разных стран. Возможно производство штукатурных правил по индивидуальным размерам.

Трапециевидное правило: как выбрать правильный инструмент

Никто не станет есть суп вилкой. В ручном производстве инструмент нанесения материала очень важен – от него зависит результат работы. Здесь следует использовать качественные плоские мастерки и разглаживающие мастерки. Однако есть правило штукатурное, с которым вы можете ознакомиться, перейдя по ссылке.

Строители создают  основу для качественной поверхности  при заполнении швов разглаживающим шпателем, лезвие которого загнуто вверх по углам. С помощью инструмента такого типа практически невозможно выровнять стык без больших усилий или сгладить его, без неровных участков или волн. Если вы все равно это сделаете, по цене это выйдет гораздо дороже,  потому что вам придется контролировать стык значительно чаще, пока поверхность не станет ровной.

Если для покрытия следующим шагом выполняется шлифовка, потребуется значительно больше шлифовки или даже повторного нанесения. Если затем нанести тонкий слой наполнителя на всю поверхность для получения ровной поверхности, вы больше не можете сохранить то, что было сделано ранее. В результате многие швы часто остаются четко видимыми после нанесения покрытия, даже с пломбой , и не вызывают положительных эмоций у клиента.

Стыки  будут визуально более заметными, чем обычно, если они заполнены деформированными выравнивающими шпателями. Этого можно относительно легко избежать, если использовать подходящие разглаживающие шпатели.

Инструмент для идеального нанесения

Подходящий шпатель должен обладать следующими свойствами:

Относительно узкие, но длинные шпатели

Это уменьшает деформацию шпателя в поперечном направлении движения во время заполнения и снижает давление шпателя в области стыка (поскольку скольжение шпателя на процент больше, чем на стыке). Это  приводит к более гладкому стыку.  При использовании второго, более широкого, шпателя шов расширяется за одно приминение.

Материал лезвия из тонкой нержавеющей стали

Это позволяет избежать постоянного контролирования  углов – основное требование к выравниванию швов. Благодаря гибкости листа, второй процесс заполнения также может быть выполнен одним движением. Это экономит время.

Чем выше качество требуемого конечного результата, тем больше он напрямую зависит от используемого инструмента. Это особенно заметно при производстве поверхностей  высокого качества, которые можно изготавливать вручную. Потому что для таких поверхностей  необходимо нанести шпатлевку и распределить ее по всей поверхности толщиной не менее 1 мм.

Если от предыдущего шва уже есть неровности основания более 1 мм, у вас неизбежно увеличатся материальные и временные затраты, а конечный результат будет хуже. Если швы заполнены без существенных неровностей, то вы точно можете выдохнуть, ваш бюджет не выйдет за предполагаемые границы.

Например, если вы используете относительно короткий инструмент, у вас образуется много неровностей, которые позже придется отшлифовать. От расстояния между ведущей рукой и инструментом, будет зависеть и окончательный результат, потому что  инструмент (удерживаемый одной рукой) всегда держится под разным углом к ​​поверхности по анатомическим причинам вашего тела.

На большем расстоянии от тела рука по анатомическим причинам держит шпатель под комфортным углом, ближе к телу круче. Если держать инструмент круто, удаляется больше материала. Кроме того,  материал, который скапливается на инструментах, является отходом.

Тренажер Правило – как заниматься, кому помогает

Что представляют собой занятия на тренажерах Правило

Производитель утверждает, что тренажер для позвоночника имеет древнее происхождение. Подобные конструкции использовались ещё в славянском быту I тысячелетия нашей эры. Тренеры заявляют, что приспособление мягко растягивает сухожилия, связки и суставы, помогает распрямить позвоночник. Благодаря такому действию организм оздоровляется.

Для позвоночника Правило используют в следующих случаях.
  1. При наличии проблем опорно-двигательного аппарата, включая артроз, кифоз, артрит, остеопороз (это не нужно) остеохондроз, сколиоз и даже радикулит;
  2. Метод успешен в профилактике и лечении грыж, протрузий;
  3. Регулярные занятия восстанавливают организм после инсульта, ишемической болезни сердца;
  4. Тренажер полезен при защемлении нервных корешков, а также для укрепления мышц;
  5. Помогает спортсменам ускорять восстановление и укрепление мышц, а также полезен при реабилитации после травм;
  6. Растяжка на Правиле после беременности ускорит восстановление организма после родов;
  7. На тренажере Правило занятия полезны офисным сотрудникам и лицам, подолгу проводящим день в сидячем положении.

Занятия на тренажере Правило

Польза Правила подтверждена научными исследованиями и отзывами исцелившихся пользователей. Врачи также указывают, что он способен избавить от депрессии, нормализовать нервно-психическое состояние и вернуть любовь к жизни. Это возможность за короткое время получить расслабление тела и спокойствие ума.

Тренажер Правило отзывы врачей

Реальность такова, что, как и любой лечебный инструмент, Правило может как помочь, так и навредить. Поэтому заниматься физическими упражнениями на тренажере можно только тем, у кого нет соответствующих противопоказаний.

Специалисты, работающие в сфере здравоохранения, утверждают, что положительный эффект от работы на станке очень заметен. Положительные качества приспособления включают:

  1. Выправление и укрепление – опорно-двигательного аппарата, тканей сухожилий, костей и связок. Правило позволяет нормализовать суставную подвижность и улучшить миофасциальный телесный каркас.
  2. Смещенные внутренние органы могут вернуться на место.
  3. Нормализуется лимфатический отток.
  4. Улучшается кровообращение и сосудистый ток.
  5. Нормализуется физическое состояние, возможны положительные изменения в психологическом плане.
  6. Правило укрепляет организм, благодаря специфике тренировок.
  7. Есть мнение, что тренировки улучшают вестибулярный аппарат и синхронизируют мозговые полушария.
  8. Изометрическая нагрузка укрепляет мышечный корсет, что улучшает степень физической тренированности.
  9. В работу вовлекаются те мышечные группы, которые не задействованы в повседневной жизни.

Перед началом работы нужно изучить видео тренировок и подобрать проверенного инструктора, который составит программу занятий на несколько месяцев. Важно оговорить со специалистом состояние физического здоровья, а также выполнить ряд пунктов:

  1. Узнать, какие есть противопоказания.
  2. Ознакомиться с правилами техники безопасности работы на станке.
  3. Пройти инструктаж.
  4. Рассказать о хронических заболеваниях и недавно перенесенных острых болезнях.

Противопоказания и предупреждения

Нельзя заниматься на тренажере в таких случаях:

  1. Скачки давления, мигрень в текущий момент.
  2. Гипертония в анамнезе.
  3. Во время беременности.
  4. Во время отравления спиртным или наркотическими веществами.
  5. При ожирении или весе свыше 130 кг. (Излишний вес не является противопоказанием)
  6. При наличии опухолей в спинномозговом канале.
  7. В период обострения боли в позвоночнике.
  8. При возникновении острого воспалительного процесса в спине.
  9. При наличии компрессионного перелома позвоночника.
  10. Наличие металлических вставок в спине или конечностях.
  11. После недавних травм конечностей, разрывов сухожилий и связок.
  12. Острая боль в спине, независимо от отдела позвоночника.
  13. Период ОРВИ, повышение температуры, насморк.
  14. Серьезные инфекции в организме.
  15. Наличие варикозного расширения вен, включая геморрой.
  16. Эпилепсия в анамнезе.
  17. Наличие кардиостимулятора в сердце.

На тренажере нужно заниматься максимально осторожно, исключая резкие движения и травматические моменты. Поэтому важно помнить о таких нюансах:

  1. Обо всех болезнях или осложнениях, связанных в особенности со спиной, нужно говорить инструктору.
  2. Перед началом работы проводится тщательная разминка. Разогревают тело предварительными упражнениями в течение 15 – 20 минут.
  3. Нельзя делать резкие движения. Все упражнениями проводятся в медленном и планом темпе. Резкие дергания недопустимы, ведь они повышают риск травматизма.
  4. Надо следить за собственным самочувствием. Если появилась сильная слабость, головокружение или приступ тошноты, занятия нужно сразу же прекратить. При появлении дискомфорта и боли в области спины, конечностей, необходимо сказать инструктору. Есть риск, что обострилась травма.
  5. Нагрузка наращивается плавно и постепенно. Запрещено форсировать прогрессию нагрузок, иначе это тоже приведет к травме.
  6. Нельзя допускать появление болевых ощущений при растяжке. Это чревато осложнениями. При появлении подобных ощущений сразу следует сказать инструктору.
  7. После окончания сеанса необходимо провести заминку. Она дополнительно расслабляет тело и улучшает самочувствие пациента.
  8. Лучше полежать после работа 10 – 15 минут на коврике для полного расслабления.
  9. В течение оставшегося дня лучше исключить тяжелые нагрузки. Не следует поднимать тяжести или заниматься тяжелым физическим трудом.
  10. За день до занятия нужно перестать употреблять алкоголь и любые вещества, влияющие на скорость реакции и сознание.
  11. Если пользователь тренажера себя плохо чувствует, лучше тренировку перенести.

Как работает Правило

Чтобы быть более здоровым, важно уделять внимание правильной осанке и осваивать новые упражнения на тренажере, с помощью опытного инструктора. Перед походом в реабилитационный центр (у нас не мед учреждение, а студия) важно изучить отзывы о заведении, посмотреть обучающие видео. Много обучающих центров находится в Москве, один из самых известных – оздоровительная студия Pravilo Moscow.

Тренажер помогает в профилактике и лечении многих болезней опорно-двигательного аппарата. Приспособление симметрично растягивает тело – мышцы, связки и сухожилия. Благодаря растяжке зажатые мышцы и триггеры расслабляются, проходят боли в спине, потому что сдвинутые органы костно-мышечная система встает на место. Некоторые специалисты верят, что тренажер высвобождает энергетический ресурс, за счет полного расслабления тела. В реальности этот эффект не доказан, да и понятие биоэнергетика – полумифическое.

Занятие с инструктором на тренажере Правило

При регулярных занятиях повышается мышечный тонус, нормализуется суставная подвижность, устраняется избыточная болезненность. При регулярной растяжке тело расслаблено, а значит, пропадают стрессы, повышается настроение, человек начинает позитивно мыслить. Во время сеансов практикуют дыхательные техники, тренеры в спортивных центрах Москвы учат диафрагмальному дыханию, которое сильнее насыщает тело кислородом, расслабляет организм, насыщает энергией и предупреждает сосудистые расстройства.

У правильного дыхания есть доказанный медицинский эффект – при полноценном поступлении кислорода в организм мозг дает сигнал к расслаблению, что положительно сказывается на самочувствии, укрепляет нервную систему и борется с депрессивным расстройством. Правильно дышащий человек редко страдает гипоксией, у него хорошее настроение и отличная стрессоустойчивость.

Интересный факт – большинство мужчин используют диафрагмальный тип дыхания, когда женщины – грудной (промежуточный). Самый «вредный» тип дыхания – ключичный, когда дышат поверхностно, не полной грудью. Если обнаружены дыхательные нарушения, можно обратиться к инструктору, который научит правильно потреблять кислород во время занятий по растяжке.

Некоторые специалисты в Москве считают, что приспособление хорошо отражается на состоянии здоровья позвоночника. Во время растяжки увеличиваются межпозвоночное расстояние, что предупреждает появление остеохондроза (естественное проседание позвоночника под действием гравитации в результате прямохождения, что возникает со временем у всех людей). Правило расправляет зажатые нервные корешки, что убирает невралгию. С помощью тренажера устраняется мышечная спастичность, укрепляются глубокие мышечные волокна, которые не задействованы в повседневной жизни. Регулярные занятия предупреждают травмы и осложнения.

Работа приспособления направлена на улучшение ощущений сигналов собственного тела. Во время первого сеанса инструктор направляет ученика, указывает ему, какие движения стоит выполнять. Со временем занимающийся сам научится чувствовать тело настолько хорошо, что сможет корректировать проблемы спины или конечностей по собственным ощущениям. Постоянный контроль позвонков, связок и сухожилий положительно скажется в предупреждении многих патологий опорно-двигательной системы.

Правило тренажер отзывы

Многие люди стали более выносливыми и сильными, используя тренажер Правило. Необычное воздействие на мышцы и сухожилия оказывается очень удачным дополнением к традиционным тренировкам, а порой и их заменой. Да и само ощущение своеобразного полета определенно стоит того, чтобы попробовать его хоть раз.

Видео 

Мнение редакции

Перед принятием решения, идти ли на первый сеанс, рекомендуется ознакомиться с отзывами врачей и пользователей, посмотреть видео. Но если у вас нет перечисленных выше противопоказаний – попробовать стоит, потому что тренажер Правило не похож ни на один из привычных вам тренажеров. Главное – при наличии сомнений в собственном здоровье перед началом занятий обратиться к специалисту.

б {е \ влево (х \ вправо) dx}. \)

Суммы Римана используют прямоугольники для аппроксимации площади под кривой.

Еще одно полезное правило интеграции — это правило трапеции. Согласно этому правилу площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Пусть \ (f \ left (x \ right) \) непрерывно на \ (\ left [{a, b} \ right]. \). Разделим интервал \ (\ left [{a, b} \ right] \) на \ (n \) равные подынтервалы шириной

каждый.

\ [\ Delta x = \ frac {{b — a}} {n}, \]

такое, что

\ [a = {x_0} \ lt {x_1} \ lt {x_2} \ lt \ cdots \ lt {x_n} = б.2} xdx}. \]

Пример 2

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

Пример 3

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. .2} xdx} \ приблизительно {T_6} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) ) + \ cdots + 2f \ left ({{x_5}} \ right) + f \ left ({{x_6}} \ right)} \ right] = \ frac {\ pi} {{12}} \ left [{ 0 + 2 \ cdot \ frac {1} {4} + 2 \ cdot \ frac {3} {4} + 2 \ cdot 1 + 2 \ cdot \ frac {3} {4} + 2 \ cdot \ frac {1 } {4} + 0} \ right] = \ frac {\ pi} {{12}} \ left [{\ frac {1} {2} + \ frac {3} {2} + 2 + \ frac {3 } {2} + \ frac {1} {2}} \ right] = \ frac {\ pi} {{12}} \ cdot \ frac {{12}} {2} = \ frac {\ pi} {2 }. \ pi = \ frac {1} {2} \ left [ {\ left ({\ pi — 0} \ right) — 0} \ right] = \ frac {\ pi} {2}.\]

Итак, в этом конкретном примере трапецеидальная аппроксимация \ ({T_6} \) совпадает с точным значением интеграла.

Пример 2.

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 8 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подинтервалами.

Решение.

Формула правила трапеции для \ (n = 4 \) подынтервалов имеет вид

\ [{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + 2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right) + f \ left ({{x_4}} \ right)} \ right].\]

Ширина подынтервала \ (\ Delta x = 2. \)

Подставляя значения функции из таблицы, находим примерную площадь под кривой:

\ [A \ приблизительно {T_4} = \ frac {2} {2} \ left [{3 + 2 \ cdot 7 + 2 \ cdot 11 + 2 \ cdot 9 + 3} \ right] = 3 + 14 + 22 + 18 + 3 = 60. \]

Пример 3.

Функция \ (f \ left (x \ right) \) задается таблицей значений. Приближаем площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = -4 \) и \ (x = 2 \), используя правило трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалами. .

Решение.

Мы применяем формулу правила трапеции с \ (n = 6 \) подинтервалов, которая задается как

\ [{T_6} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + 2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right) + 2f \ left ({{x_4}} \ right) + 2f \ left ({{x_5}} \ right) + f \ left ({{x_6}} \ right)} \ right]. \]

Ширина каждого интервала равна \ (\ Delta x = 1. \)

Значения функции известны из таблицы, поэтому мы легко можем рассчитать приблизительное значение площади:

\ [A \ приблизительно {T_6} = \ frac {1} {2} \ left [{0 + 2 \ cdot 4 + 2 \ cdot 5 + 2 \ cdot 3 + 2 \ cdot 10 + 2 \ cdot 11 + 2 } \ right] = \ frac {1} {2} \ left [{8 + 10 + 6 + 20 + 22 + 2} \ right] = \ frac {{68}} {2} = 34.\]

Пример 4.

Приблизьте площадь под кривой \ (y = f \ left (x \ right) \) между \ (x = 0 \) и \ (x = 10 \), используя правило трапеции с \ (n = 5 \) подынтервалами. .

Рисунок 2. Решение

.

Формула правила трапеции для \ (n = 5 \) интервалов задается

\ [{T_5} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + 2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right) + 2f \ left ({{x_4}} \ right) + f \ left ({{x_5}} \ right) } \Правильно].\]

Из рисунка следует, что \ (\ Delta x = 2. \) Значения функции на концах интервалов равны

\ [f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (0 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right) = 6; \]

\ [f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (4 \ right) = 6; \]

\ [f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (6 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (8 \ right) = 4; \]

\ [f \ left ({{x_5}} \ right) = f \ left ({10} \ right) = 5. 3} = 8.\]

В качестве \ (\ Delta x = 1, \) получаем

\ [A \ приблизительно {T_4} = \ frac {1} {2} \ left [{\ frac {1} {2} + 2 \ cdot 1 + 2 \ cdot 2 + 2 \ cdot 4 + 8} \ right ] = \ frac {1} {2} \ cdot 22 \ frac {1} {2} = 11 \ frac {1} {4}. \]

Пример 6.

Приблизьте площадь под кривой \ [y = \ frac {1} {x} \] между \ (x = 1 \) и \ (x = 5 \), используя правило трапеции с \ (n = 4 \) подынтервалами. .

Решение.

Рис. 4.

Запишем формулу правила трапеции для \ (n = 4 \) подинтервалов:

\ [{T_4} = \ frac {{\ Delta x}} {2} \ left [{f \ left ({{x_0}} \ right) + 2f \ left ({{x_1}} \ right) + 2f \ left ({{x_2}} \ right) + 2f \ left ({{x_3}} \ right) + f \ left ({{x_4}} \ right)} \ right].\]

Функция имеет следующие значения в точках \ ({x_i}: \)

\ [f \ left ({{x_0}} \ right) = f \ left (1 \ right) = \ frac {1} {1} = 1; \]

\ [f \ left ({{x_1}} \ right) = f \ left (2 \ right) = \ frac {1} {2}; \]

\ [f \ left ({{x_2}} \ right) = f \ left (3 \ right) = \ frac {1} {3}; \]

\ [f \ left ({{x_3}} \ right) = f \ left (4 \ right) = \ frac {1} {4}; \]

\ [f \ left ({{x_4}} \ right) = f \ left (5 \ right) = \ frac {1} {5}. \]

Поскольку \ (\ Delta x = 1, \), получаем

\ [A \ приблизительно {T_4} = \ frac {1} {2} \ left [{1 + 2 \ cdot \ frac {1} {2} + 2 \ cdot \ frac {1} {3} + 2 \ cdot \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5}} \ right] = \ frac {1} {2} \ left [{1 + 1 + \ frac {2} {3} + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {5}} \ right] = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {{30 + 30 + 20 + 15 + 8}} {{30}} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {{101}} {{30}} = \ frac {{101}} {{60}} \]

См. Другие проблемы на странице 2.{3} {\ left (x \ right)} + 1} $$$, $$$ a = 0 $$$, $$$ b = 1 $$$ и $$$ n = 5 $$$.

Следовательно, $$$ \ Delta x = \ frac {1 — 0} {5} = \ frac {1} {5} $$$.

Разделите интервал $$$ \ left [0, 1 \ right] $$$ на $$$ n = 5 $$$ подинтервалов длиной $$$ \ Delta x = \ frac {1} {5} $ $$ со следующими конечными точками: $$$ a = 0 $$$, $$$ \ frac {1} {5} $$$, $$$ \ frac {2} {5} $$$, $$$ \ frac {3} {5} $$$, $$$ \ frac {4} {5} $$$, $$$ 1 = b $$$.

Теперь просто оцените функцию на этих конечных точках. {3} {\ left (\ frac {1} {5} \ right)} + 1 } \ приблизительно 2.{3} {\ left (x \ right)} + 1} \, dx \ приблизительно 1.084208122931016 $$$ A

Правило трапеции — Что такое формула правила трапеции? Примеры

В математике правило трапеции, также известное как правило трапеции или правило трапеции, представляет собой метод аппроксимации определенного интеграла в численном анализе. Правило трапеции — это правило интегрирования, используемое для вычисления площади под кривой путем деления кривой на маленькие трапеции. Суммирование всех площадей маленьких трапеций даст площадь под кривой.Давайте разберемся с формулой правила трапеции и ее доказательством на примерах в следующих разделах.

Что такое правило трапеции?

Правило трапеции применяется для решения определенного интеграла вида b ∫ \ (_ a \) f (x) dx, аппроксимируя область под графиком функции f (x) как трапецию и вычисляя ее площадь . Согласно правилу трапеций, мы оцениваем площадь под кривой путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Формула трапецеидального правила

Мы применяем формулу правила трапеций для решения определенного интеграла путем вычисления площади под кривой путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники. Это правило используется для аппроксимации определенных интегралов, где оно использует линейные приближения функций. Правило трапеции берет среднее левой и правой суммы.

Пусть y = f (x) непрерывно на [a, b]. Разделим интервал [a, b] на n равных подинтервалов, каждый шириной, h = (b — a) / n,

такое, что a = x \ (_ 0 \)

Площадь = \ (\ dfrac {h} {2} [y_0 + 2 (y_1 + y_2 + y_3 +….. + y_ {n-1}) + y_n] \)

где,

  • \ (y_0 \), \ (y_1 \), \ (y_2 \)…. — значения функции при x = 1, 2, 3… .. соответственно.

Вывод формулы трапециевидного правила

Мы можем вычислить значение определенного интеграла, используя трапеции, чтобы разделить площадь под кривой для данной функции.

Формулировка правила трапеции: Пусть f (x) — непрерывная функция на интервале (a, b).б \) е (х) дх

Проба:

Чтобы доказать правило трапеции, рассмотрите кривую, показанную на рисунке выше, и разделите область под этой кривой на трапеции. Мы видим, что первая трапеция имеет высоту Δx и параллельные основания длиной y \ (_ 0 \) или f (x \ (_ 0 \)) и y \ (_ 1 \) или f \ (_ 1 \). Таким образом, площадь первой трапеции на приведенном выше рисунке может быть задана как

.

(1/2) Δx [f (x \ (_ 0 \)) + f (x \ (_ 1 \)]

Площади остальных трапеций равны (1/2) Δx [(f (x \ (_ 1 \))) + f (x \ (_ 2 \))], (1/2) Δx [[f (x \ (_2 \)) + f (x \ (_ 3 \)] и так далее.b_af (x) \, dx≈ \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +2 \, f (x_3) \) + … + \ (2f (x_ {n-1}) + f (x_n) \ big) \)

Как применить правило трапеции?

Правило трапеций может применяться для решения определенного интеграла любой заданной функции. Он вычисляет площадь под кривой, образованной функцией, путем деления ее на трапеции и является менее точным методом по сравнению с правилом Симпсона. И правило Симпсона, и правило трапеции дают значение приближения, но правило Симпсона дает еще более точное значение приближения интегралов, поскольку в правиле Симпсона используется квадратичное приближение вместо линейного приближения.{b} f (x) dx \ приблизительно T_ {n} = \ frac {\ bigtriangleup x} {2} [f (x_ {0}) + 2f (x_ {1}) + 2f (x_ {2}) \ ) +…. + \ (2f (x_ {n-1}) + f (x_ {n})] \), где x \ (_ i \) = a + i △ x

Давайте взглянем на несколько примеров, чтобы лучше понять правило трапеции.

Часто задаваемые вопросы о трапециевидном правиле

Что такое правило трапеции?

Правило трапеции — это правило интегрирования, используемое для вычисления площади под кривой путем деления кривой на маленькие трапеции. Суммирование всех площадей маленьких трапеций даст площадь под кривой.Согласно этому правилу площадь под кривой оценивается путем деления общей площади на маленькие трапеции, а не на прямоугольники.

Что такое формула правила трапеции?

Формула правила трапеции: Area = \ (\ dfrac {h} {2} [y_0 + y_n + 2 (y_1 + y_2 + y_3 + ….. + y_ {n-1})] \)

где,

  • \ (y_0 \), \ (y_1 \), \ (y_2 \)…. — значения функции при x = 1, 2, 3… .. соответственно.
  • ч = малый интервал (\ (x_1- x_0) \)

Почему это называется формулой трапециевидного правила?

Правило называется трапециевидным, потому что при оценке площади под кривой общая площадь делится на маленькие трапеции вместо прямоугольников.Затем находим площадь этих маленьких трапеций в определенном интервале.

Используя формулу правила трапеции, найдите площадь, когда h = 2, y

0 = 4, y 1 = 8, y 2 = 12, y 3 = 15.

Используя формулу правила трапеции, площадь = \ (\ dfrac {h} {2} [y_0 + y_n + 2 (y_1 + y_2 + y_3 + ….. + y_ {n-1})] \)

= \ (\ dfrac {2} {2} [4 + 15 + 2 (8 + 12)] \)
= 1 [19 + 40]
= 1 [59]
= 59
Следовательно, площадь под кривой составляет 59 кв.единицы.

3.6 Численное интегрирование — том 2 исчисления

Цели обучения

  • 3.6.1 Приближайте значение определенного интеграла, используя правила средней точки и трапеции.
  • 3.6.2 Определите абсолютную и относительную погрешность при использовании метода численного интегрирования.
  • 3.6.3 Оцените абсолютную и относительную погрешность, используя формулу оценки погрешности.
  • 3.6.4 Определите, когда правила средней точки и трапеции переоценивают или недооценивают истинное значение интеграла.
  • 3.6.5 Используйте правило Симпсона, чтобы приблизить значение определенного интеграла с заданной точностью.

Первообразные многих функций либо не могут быть выражены, либо не могут быть легко выражены в замкнутой форме (то есть в терминах известных функций). Следовательно, вместо того, чтобы вычислять определенные интегралы этих функций напрямую, мы прибегаем к различным методам численного интегрирования для аппроксимации их значений. В этом разделе мы исследуем несколько из этих техник.Кроме того, мы исследуем процесс оценки ошибки при использовании этих методов.

Правило средней точки

Ранее в этом тексте мы определили определенный интеграл функции на интервале как предел сумм Римана. В общем, любая сумма Римана функции f (x) f (x) на интервале [a, b] [a, b] может рассматриваться как оценка ∫abf (x) dx.∫abf (x) dx . Напомним, что сумма Римана функции f (x) f (x) на интервале [a, b] [a, b] получается путем выбора разбиения

P = {x0, x1, x2,…, xn}, где a = x0 и набор

S = {x1 *, x2 *,…, xn *}, где xi − 1≤xi * ≤xifor alli.S = {x1 *, x2 *,…, xn *}, где xi − 1≤xi * ≤xifor alli.

Сумма Римана, соответствующая разбиению PP и множеству SS, задается выражением ∑i = 1nf (xi *) Δxi, ∑i = 1nf (xi *) Δxi, где Δxi = xi − xi − 1, Δxi = xi − xi −1, длина подынтервала i .

Правило средней точки для оценки определенного интеграла использует сумму Римана с подынтервалами одинаковой ширины и средними точками mi, mi каждого подынтервала вместо xi * .xi *. Формально мы сформулируем теорему о сходимости правила средней точки следующим образом.

Теорема 3.3

Правило средней точки

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна на [a, b]. [A, b]. Пусть n — натуральное число и Δx = b − an.Δx = b − an. Если [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый из которых имеет длину Δx, Δx и mimi является средней точкой i -го подинтервала, установите

Mn = ∑i = 1nf (mi) Δx.Mn = ∑i = 1nf (mi) Δx.

(3.10)

Тогда limn → ∞Mn = ∫abf (x) dx.limn → ∞Mn = ∫abf (x) dx.

Как видно на рисунке 3.13, если f (x) ≥0f (x) ≥0 над [a, b], [a, b], то ∑i = 1nf (mi) Δx∑i = 1nf (mi) Δx соответствует сумме площадей прямоугольников, аппроксимирующих область между графиком f (x) f (x) и осью x над [a, b].[а, б]. На графике показаны прямоугольники, соответствующие M4M4 для неотрицательной функции на отрезке [a, b]. [A, b].

Фигура 3,13 Правило средней точки аппроксимирует площадь между графиком f (x) f (x) и осью x путем суммирования площадей прямоугольников со средними точками, которые являются точками на f (x) .f (x).

Пример 3,39

Использование правила средней точки с M4M4

Используйте правило средней точки для оценки ∫01x2dx∫01x2dx с использованием четырех подинтервалов.Сравните результат с фактическим значением этого интеграла.

Решение

Каждый подынтервал имеет длину Δx = 1−04 = 14. Δx = 1−04 = 14. Таким образом, подынтервалы состоят из

[0,14], [14,12], [12,34] и [34,1]. [0,14], [14,12], [12,34] и [34,1].

Середины этих подинтервалов: {18,38,58,78}. {18,38,58,78}. Таким образом,

M4 = 14f (18) + 14f (38) + 14f (58) + 14f (78) = 14 · 164 + 14 · 964 + 14 · 2564 + 14 · 4964 = 2164. M4 = 14f (18) + 14f (38 ) + 14f (58) + 14f (78) = 14 · 164 + 14 · 964 + 14 · 2564 + 14 · 4964 = 2164.

С

∫01x2dx = 13 и | 13−2164 | = 1192≈0,0052, ∫01x2dx = 13 и | 13−2164 | = 1192≈0,0052,

мы видим, что правило средней точки дает оценку, которая несколько близка к действительному значению определенного интеграла.

Пример 3,40

Использование правила средней точки с M6M6

Используйте M6M6, чтобы оценить длину кривой y = 12x2y = 12×2 на [1,4]. [1,4].

Решение

Длина y = 12x2y = 12×2 на [1,4] [1,4] составляет

∫141 + (dydx) 2dx.∫141 + (dydx) 2dx.

Поскольку dydx = x, dydx = x, этот интеграл становится ∫141 + x2dx.∫141 + x2dx.

Если [1,4] [1,4] разделено на шесть подинтервалов, то каждый подынтервал имеет длину Δx = 4−16 = 12Δx = 4−16 = 12, а средние точки подынтервалов равны {54,74,94,114,134,154} . {54,74,94,114,134,154}. Если мы положим f (x) = 1 + x2, f (x) = 1 + x2,

M6 = 12f (54) + 12f (74) + 12f (94) + 12f (114) + 12f (134) + 12f (154) ≈12 (1,6008 + 2,0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810) = 8,1431.M6 = 12f (54) + 12f (74) + 12f (94) + 12f (114) + 12f (134) + 12f (154) ≈12 (1.6008 + 2.0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810) = 8,1431.

Контрольно-пропускной пункт 3,22

Используйте правило средней точки с n = 2n = 2, чтобы оценить ∫121xdx.∫121xdx.

Правило трапеции

Мы также можем приблизить значение определенного интеграла, используя трапеции, а не прямоугольники. На рисунке 3.14 область под кривой аппроксимирована трапециями, а не прямоугольниками.

Фигура 3,14 Трапеции можно использовать для аппроксимации площади под кривой, тем самым аппроксимируя определенный интеграл.

В правиле трапеций для оценки определенных интегралов для аппроксимации площади под кривой используются трапеции, а не прямоугольники. Чтобы понять окончательную форму правила, рассмотрим трапеции, показанные на рис. 3.14. Мы предполагаем, что длина каждого подынтервала равна Δx.Δx. Во-первых, напомним, что площадь трапеции с высотой h и основаниями длиной b1b1 и b2b2 задается как Площадь = 12h (b1 + b2). Площадь = 12h (b1 + b2). Мы видим, что первая трапеция имеет высоту ΔxΔx и параллельные основания длиной f (x0) f (x0) и f (x1).f (x1). Таким образом, площадь первой трапеции на рисунке 3.14 составляет

. 12Δx (f (x0) + f (x1)). 12Δx (f (x0) + f (x1)).

Площади остальных трех трапеций

12Δx (f (x1) + f (x2)), 12Δx (f (x2) + f (x3)) и 12Δx (f (x3) + f (x4)). 12Δx (f (x1) + f (x2) ), 12Δx (f (x2) + f (x3)) и 12Δx (f (x3) + f (x4)).

Следовательно,

∫abf (x) dx≈12Δx (f (x0) + f (x1)) + 12Δx (f (x1) + f (x2)) + 12Δx (f (x2) + f (x3)) + 12Δx (f ( x3) ​​+ f (x4)). ∫abf (x) dx≈12Δx (f (x0) + f (x1)) + 12Δx (f (x1) + f (x2)) + 12Δx (f (x2) + f (x3)) + 12Δx (f (x3) + f (x4)).

После вычитания общего множителя 12Δx12Δx и объединения одинаковых членов получаем

∫abf (x) dx≈12Δx (f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + f (x4)).∫abf (x) dx≈12Δx (f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + f (x4)).

Обобщая, формально сформулируем следующее правило.

Теорема 3,4

Правило трапеции

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна над [a, b]. [A, b]. Пусть n — натуральное число и Δx = b − an.Δx = b − an. Пусть [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый длиной Δx, Δx, с конечными точками в P = {x0, x1, x2…, xn} .P = {x0, x1, x2…, xn}. Комплект

Tn = 12Δx (f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + ⋯ + 2f (xn − 1) + f (xn)). Tn = 12Δx (f (x0) + 2f (x1) + 2f ( x2) + ⋯ + 2f (xn − 1) + f (xn)).

(3.11)

Тогда limn → + ∞Tn = ∫abf (x) dx.limn → + ∞Tn = ∫abf (x) dx.

Прежде чем продолжить, давайте сделаем несколько замечаний по поводу правила трапеции. Прежде всего, стоит отметить, что

Tn = 12 (Ln + Rn), где Ln = ∑i = 1nf (xi − 1) Δx и Rn = ∑i = 1nf (xi) Δx.Tn = 12 (Ln + Rn), где Ln = ∑i = 1nf (xi − 1) ΔxandRn = ∑i = 1nf (xi) Δx.

То есть LnLn и RnRn аппроксимируют интеграл, используя левую и правую конечные точки каждого подинтервала, соответственно. Кроме того, внимательное изучение рисунка 3.15 приводит нас к следующим наблюдениям об использовании правил трапеций и правил средней точки для оценки определенного интеграла неотрицательной функции. Правило трапеции имеет тенденцию систематически переоценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вверх, и систематически недооценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вниз. С другой стороны, правило средней точки имеет тенденцию несколько усреднять эти ошибки, частично переоценивая и частично недооценивая значение определенного интеграла для тех же самых типов интервалов.Это заставляет нас предположить, что в целом правило средней точки имеет тенденцию быть более точным, чем правило трапеции.

Фигура 3,15 Правило трапеции имеет тенденцию быть менее точным, чем правило средней точки.

Пример 3,41

Использование правила трапеции

Используйте правило трапеции для оценки ∫01x2dx∫01x2dx с использованием четырех подинтервалов.

Решение

Концы подынтервалов состоят из элементов множества P = {0,14,12,34,1} P = {0,14,12,34,1} и Δx = 1−04 = 14.Δx = 1−04 = 14. Таким образом,

∫01x2dx≈12 · 14 (f (0) + 2f (14) + 2f (12) + 2f (34) + f (1)) = 18 (0 + 2 · 116 + 2 · 14 + 2 · 916 + 1 ) = 1132. 01x2dx≈12 · 14 (f (0) + 2f (14) + 2f (12) + 2f (34) + f (1)) = 18 (0 + 2 · 116 + 2 · 14 + 2 · 916 + 1) = 1132.

Контрольно-пропускной пункт 3,23

Используйте правило трапеций с n = 2n = 2, чтобы оценить ∫121xdx.∫121xdx.

Абсолютная и относительная ошибка

Важным аспектом использования этих правил численной аппроксимации является вычисление погрешности их использования для оценки значения определенного интеграла.Сначала нам нужно определить абсолютную ошибку и относительную ошибку.

Определение

Если BB — наша оценка некоторой величины, имеющей фактическое значение A, A, то абсолютная ошибка определяется как | A-B |. | A-B |. Относительная ошибка — это ошибка в процентах от абсолютного значения, которая определяется как | A-BA | = | A-BA | · 100%. | A-BA | = | A-BA | · 100%.

Пример 3,42

Ошибка вычисления в Правиле средней точки

Вычислите абсолютную и относительную ошибку в оценке ∫01x2dx∫01x2dx, используя правило средней точки, приведенное в примере 3.39.

Решение

Расчетное значение ∫01x2dx = 13∫01x2dx = 13, а наша оценка из примера — M4 = 2164.M4 = 2164. Таким образом, абсолютная ошибка определяется выражением | (13) — (2164) | = 1192≈0,0052. | (13) — (2164) | = 1192≈0,0052. Относительная погрешность

. 1/1921/3 = 164≈0,015625≈1,6%. 1/1921/3 = 164≈0,015625≈1,6%.

Пример 3,43

Ошибка вычисления по правилу трапеции

Вычислите абсолютную и относительную погрешности в оценке ∫01x2dx∫01x2dx, используя правило трапеции, найденное в Примере 3.41.

Решение

Расчетное значение ∫01x2dx = 13∫01x2dx = 13, а наша оценка из примера — T4 = 1132.T4 = 1132. Таким образом, абсолютная ошибка равна | 13−1132 | = 196≈0,0104. | 13−1132 | = 196≈0,0104. Относительная ошибка равна

. 1/961/3 = 0,03125≈3,1%. 1/961/3 = 0,03125≈3,1%.

Контрольно-пропускной пункт 3,24

В более ранней контрольной точке мы оценили ∫121xdx∫121xdx как 24352435 с использованием T2.T2. Фактическое значение этого интеграла ln2.ln2. Используя 2435≈0,68572435≈0,6857 и ln2≈0,6931, ln2≈0,6931, вычислите абсолютную ошибку и относительную ошибку.

В двух предыдущих примерах мы смогли сравнить нашу оценку интеграла с фактическим значением интеграла; однако обычно у нас нет такой роскоши. В общем, если мы приближаем интеграл, мы делаем это, потому что мы не можем легко вычислить точное значение самого интеграла. Поэтому часто бывает полезно определить верхнюю границу ошибки при приближении интеграла.Следующая теорема предоставляет границы ошибок для средней точки и правил трапеции. Теорема формулируется без доказательства.

Теорема 3.5

Границы ошибок для средней точки и трапециевидных правил

Пусть f (x) f (x) — непрерывная функция над [a, b], [a, b], имеющая вторую производную f ″ (x) f ″ (x) на этом интервале. Если MM — максимальное значение | f ″ (x) || f ″ (x) | над [a, b], [a, b], то верхние границы ошибки при использовании MnMn и TnTn для оценки ∫abf (x) dx∫abf (x) dx равны

Ошибка inMn≤M (b − a) 324n2 Ошибка inMn≤M (b − a) 324n2

(3.12)

и

Ошибка inTn≤M (b − a) 312n2. Ошибка inTn≤M (b − a) 312n2.

(3.13)

Мы можем использовать эти границы для определения значения nn, необходимого для гарантии того, что ошибка в оценке меньше заданного значения.

Пример 3,44

Определение количества используемых интервалов

Какое значение nn следует использовать, чтобы гарантировать точность оценки ∫01ex2dx∫01ex2dx с точностью до 0,01, если мы используем правило средней точки?

Решение

Начнем с определения значения M, M, максимального значения | f ″ (x) || f ″ (x) | по [0,1] [0,1] для f (x) = ex2.f (x) = ex2. Поскольку f ′ (x) = 2xex2, f ′ (x) = 2xex2, имеем

f ″ (x) = 2ex2 + 4x2ex2.f ″ (x) = 2ex2 + 4x2ex2.

Таким образом,

| f ″ (x) | = 2ex2 (1 + 2×2) ≤2 · e · 3 = 6e. | f ″ (x) | = 2ex2 (1 + 2×2) ≤2 · e · 3 = 6e.

Из уравнения 3.12 с ограничением погрешности получаем

Ошибка inMn≤M (b − a) 324n2≤6e (1−0) 324n2 = 6e24n2. Ошибка inMn≤M (b − a) 324n2≤6e (1−0) 324n2 = 6e24n2.

Теперь решаем следующее неравенство для n: n:

6e24n2≤0.01. 6e24n2≤0.01.

Таким образом, n≥600e24≈8,24. N≥600e24≈8,24. Поскольку nn должно быть целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, выбор n = 9n = 9 гарантирует, что | ∫01ex2dx − Mn | <0.01. | ∫01ex2dx − Mn | <0,01.

Анализ

У нас могло возникнуть искушение округлить 8,248,24 в меньшую сторону и выбрать n = 8, n = 8, но это было бы неверно, потому что у нас должно быть целое число, большее или равное 8,24,8,24. Мы должны иметь в виду, что оценки ошибок дают верхнюю границу только для ошибки. Фактическая оценка на самом деле может быть гораздо лучшим приближением, чем указано в границах погрешности.

Контрольно-пропускной пункт 3,25

Используйте уравнение 3.13, чтобы найти верхнюю границу ошибки при использовании M4M4 для оценки ∫01x2dx.∫01x2dx.

Правило Симпсона

С помощью правила средней точки мы оценили площади областей под кривыми с помощью прямоугольников. В некотором смысле мы аппроксимировали кривую кусочно-постоянными функциями. С помощью правила трапеции мы аппроксимировали кривую с помощью кусочно-линейных функций. Что, если бы мы вместо этого аппроксимировали кривую с помощью кусочно-квадратичных функций? С правилом Симпсона мы поступаем именно так. Мы разбиваем интервал на четное количество подынтервалов одинаковой ширины.На первой паре подынтервалов аппроксимируем ∫x0x2f (x) dx∫x0x2f (x) dx с помощью ∫x0x2p (x) dx, ∫x0x2p (x) dx, где p (x) = Ax2 + Bx + Cp (x) = Ax2 + Bx + C — квадратичная функция, проходящая через (x0, f (x0)), (x0, f (x0)), (x1, f (x1)), (x1, f (x1)) и (x2 , f (x2)) (x2, f (x2)) (рисунок 3.16). На следующей паре подынтервалов аппроксимируем ∫x2x4f (x) dx∫x2x4f (x) dx интегралом от другой квадратичной функции, проходящей через (x2, f (x2)), (x2, f (x2)), (x3, f (x3)), (x3, f (x3)) и (x4, f (x4)). (x4, f (x4)). Этот процесс продолжается с каждой последующей парой подынтервалов.

Фигура 3,16 С помощью правила Симпсона мы приближаем определенный интеграл, интегрируя кусочно-квадратичную функцию.

Чтобы понять формулу, которую мы получаем для правила Симпсона, мы начнем с вывода формулы для этого приближения для первых двух подинтервалов. В процессе вывода нам необходимо иметь в виду следующие отношения:

f (x0) = p (x0) = Ax02 + Bx0 + Cf (x1) = p (x1) = Ax12 + Bx1 + Cf (x2) = p (x2) = Ax22 + Bx2 + Cf (x0) = p (x0 ) = Ax02 + Bx0 + Cf (x1) = p (x1) = Ax12 + Bx1 + Cf (x2) = p (x2) = Ax22 + Bx2 + C

x2 − x0 = 2Δx, x2 − x0 = 2Δx, где ΔxΔx — длина подынтервала.

x2 + x0 = 2×1, поскольку x1 = (x2 + x0) 2. x2 + x0 = 2×1, поскольку x1 = (x2 + x0) 2.

Таким образом,

∫x0x2f (x) dx≈∫x0x2p (x) dx = ∫x0x2 (Ax2 + Bx + C) dx = A3x3 + B2x2 + Cx | x2x0 Найти первообразную. = A3 (x23 − x03) + B2 (x22 − x02) + C (x2 − x0) Вычислить первообразную. = A3 (x2 − x0) (x22 + x2x0 + x02) + B2 (x2 − x0) (x2 + x0) + C (x2 − x0) = x2 − x06 (2A ( x22 + x2x0 + x02) + 3B (x2 + x0) + 6C) Выведите множитель x2 − x06. = Δx3 ((Ax22 + Bx2 + C) + (Ax02 + Bx0 + C) + A (x22 + 2x2x0 + x02) + 2B (x2 + x0) + 4C) = Δx3 (f (x2) + f (x0) + A (x2 + x0) 2 + 2B (x2 + x0) + 4C) Переставьте члены. Разложите и замените. f (x2) = Ax22 + Bx2 + Candf (x0) = Ax02 + Bx0 + C.= Δx3 (f (x2) + f (x0) + A (2×1) 2 + 2B (2×1) + 4C) Заменить x2 + x0 = 2×1. = Δx3 (f (x2) + 4f (x1) + f (x0)) .Развернуть и заменить f (x1) = Ax12 + Bx1 + C.∫x0x2f (x) dx≈∫x0x2p (x) dx = ∫x0x2 (Ax2 + Bx + C) dx = A3x3 + B2x2 + Cx | x2x0 Найти первообразную. = A3 (x23 − x03) + B2 (x22 − x02) + C (x2 − x0) Вычислить первообразную. = A3 (x2 − x0) (x22 + x2x0 + x02) + B2 (x2 − x0) (x2 + x0) + C (x2 − x0) = x2 − x06 (2A (x22 + x2x0 + x02) + 3B (x2 + x0) + 6C) Вывести множитель x2 − x06. = Δx3 ((Ax22 + Bx2 + C) + (Ax02 + Bx0 + C) + A (x22 + 2x2x0 + x02) + 2B (x2 + x0) + 4C) = Δx3 (f (x2) + f (x0) + A (x2 + x0) 2 + 2B (x2 + x0) + 4C) Переставьте условия. Факторизуйте и замените.f (x2) = Ax22 + Bx2 + Candf (x0) = Ax02 + Bx0 + C. = Δx3 (f (x2) + f (x0) + A (2×1) 2 + 2B (2×1) + 4C) Заменитель x2 + x0 = 2×1. = Δx3 (f (x2) + 4f (x1) + f (x0)). Разложить и заменить f (x1) = Ax12 + Bx1 + C.

Если мы аппроксимируем ∫x2x4f (x) dx∫x2x4f (x) dx тем же методом, мы увидим, что имеем

∫x0x4f (x) dx≈Δx3 (f (x4) + 4f (x3) + f (x2)). ∫x0x4f (x) dx≈Δx3 (f (x4) + 4f (x3) + f (x2)).

Комбинируя эти два приближения, получаем

∫x0x4f (x) dx = Δx3 (f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + f (x4)). ∫x0x4f (x) dx = Δx3 (f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + f (x4)).

Шаблон продолжается, когда мы добавляем пары подинтервалов к нашему приближению.Общее правило можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3,6

Правило Симпсона

Предположим, что f (x) f (x) непрерывна над [a, b]. [A, b]. Пусть n будет положительным четным целым числом и Δx = b − an.Δx = b − an. Пусть [a, b] [a, b] разделен на nn подинтервалов, каждый длиной Δx, Δx, с конечными точками в P = {x0, x1, x2,…, xn} .P = {x0, x1, x2, …, Xn}. Комплект

Sn = Δx3 (f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + ⋯ + 2f (xn − 2) + 4f (xn − 1) + f (xn)) .Sn = Δx3 (f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + 2f (x4) + ⋯ + 2f (xn − 2) + 4f (xn − 1) + f (xn)). ).

(3.14)

Затем,

limn → + ∞Sn = ∫abf (x) dx.limn → + ∞Sn = ∫abf (x) dx.

Точно так же, как правило трапеций представляет собой среднее значение правил левой и правой руки для оценки определенных интегралов, правило Симпсона может быть получено из средней точки и правил трапеций с использованием средневзвешенного значения. Можно показать, что S2n = (23) Mn + (13) Tn.S2n = (23) Mn + (13) Tn.

Также возможно установить предел ошибки при использовании правила Симпсона для аппроксимации определенного интеграла. Граница ошибки определяется следующим правилом:

Правило: граница ошибки для правила Симпсона

Пусть f (x) f (x) — непрерывная функция над [a, b] [a, b], имеющая четвертую производную f (4) (x), f (4) (x) на этом интервале.Если MM — максимальное значение | f (4) (x) || f (4) (x) | по [a, b], [a, b], то верхняя граница ошибки при использовании SnSn для оценки ∫abf (x) dx∫abf (x) dx равна

Ошибка inSn≤M (b − a) 5180n4. Ошибка inSn≤M (b − a) 5180n4.

(3,15)

Пример 3,45

Применение правила Симпсона 1

Используйте S2S2, чтобы получить приблизительное значение ∫01x3dx.∫01x3dx. Оцените оценку ошибки в S2.S2.

Решение

Поскольку [0,1] [0,1] делится на два интервала, каждый подынтервал имеет длину Δx = 1−02 = 12.Δx = 1−02 = 12. Конечные точки этих подынтервалов: {0,12,1}. {0,12,1}. Если положить f (x) = x3, f (x) = x3, то

S4 = 13 · 12 (f (0) + 4f (12) + f (1)) = 16 (0 + 4 · 18 + 1) = 14.S4 = 13 · 12 (f (0) + 4f (12 ) + f (1)) = 16 (0 + 4 · 18 + 1) = 14. Поскольку f (4) (x) = 0f (4) (x) = 0 и, следовательно, M = 0, M = 0, мы видим, что

Ошибка в S2≤0 (1) 5180⋅24 = 0. Ошибка в S2≤0 (1) 5180⋅24 = 0.

Эта граница указывает на то, что значение, полученное с помощью правила Симпсона, является точным. Быстрая проверка подтвердит, что на самом деле ∫01x3dx = 14.∫01x3dx = 14.

Пример 3.46

Применение правила Симпсона 2

Используйте S6S6, чтобы оценить длину кривой y = 12x2y = 12×2 на [1,4]. [1,4].

Решение

Длина y = 12x2y = 12×2 по [1,4] [1,4] составляет ∫141 + x2dx.∫141 + x2dx. Если разделить [1,4] [1,4] на шесть подынтервалов, то каждый подынтервал будет иметь длину Δx = 4−16 = 12, Δx = 4−16 = 12, а конечные точки подынтервалов равны {1,32, 2,52,3,72,4}. {1,32,2,52,3,72,4}. Полагая f (x) = 1 + x2, f (x) = 1 + x2,

S6 = 13 · 12 (f (1) + 4f (32) + 2f (2) + 4f (52) + 2f (3) + 4f (72) + f (4))).S6 = 13 · 12 (f (1) + 4f (32) + 2f (2) + 4f (52) + 2f (3) + 4f (72) + f (4))).

После подстановки имеем

S6 = 16 (1,4142 + 4 · 1,80278 + 2 · 2,23607 + 4 · 2,69258 + 2 · 3,16228 + 4 · 3,64005 + 4,12311) ≈8,14594.S6 = 16 (1,4142 + 4 · 1,80278 + 2 · 2,23607 + 4 · 2,69258 + 2 · 3,16228 + 4 · 3,64005 + 4,12311) ≈8,14594.

Контрольно-пропускной пункт 3,26

Используйте S2S2 для оценки ∫121xdx.∫121xdx.

Раздел 3.6. Упражнения

Аппроксимируйте следующие интегралы, используя либо правило средней точки, либо правило трапеции, либо правило Симпсона, как указано.(Округлите ответы до трех десятичных знаков.)

299 .

∫12dxx; ∫12dxx; трапециевидная линейка; п = 5 п = 5

300 .

∫034 + x3dx; ∫034 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

301 .

∫034 + x3dx; ∫034 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 3н = 3

302 .

∫012x2dx; ∫012x2dx; правило средней точки; п = 6 п = 6

303 .

∫01sin2 (πx) dx; ∫01sin2 (πx) dx; правило средней точки; п = 3н = 3

304 .

Используйте правило средней точки с восемью делениями, чтобы оценить ∫24x2dx.∫24x2dx.

305 .

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫24x2dx.∫24x2dx.

306 .

Найдите точное значение ∫24x2dx.∫24x2dx. Найдите ошибку приближения между точным значением и значением, вычисленным с использованием правила трапеции с четырьмя делениями. Нарисуйте график, чтобы проиллюстрировать это.

Приблизьте интеграл к трем десятичным знакам, используя указанное правило.

307 .

∫01sin2 (πx) dx; ∫01sin2 (πx) dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

308 .

∫0311 + x3dx; ∫0311 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 6 п = 6

309 .

∫0311 + x3dx; ∫0311 + x3dx; трапециевидная линейка; п = 3н = 3

310 .

∫00.8e − x2dx; ∫00.8e − x2dx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

311 .

∫00.8e − x2dx; ∫00.8e − x2dx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

312 .

∫00.4sin (x2) dx; ∫00.4sin (x2) dx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

313 .

∫00.4sin (x2) dx; ∫00.4sin (x2) dx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

314 .

∫0.10.5cosxxdx; ∫0.10.5cosxxdx; трапециевидная линейка; п = 4 п = 4

315 .

∫0.10.5cosxxdx; ∫0.10.5cosxxdx; Правило Симпсона; п = 4 п = 4

316 .

Вычислите ∫01dx1 + x2∫01dx1 + x2 точно и покажите, что результат равен π / 4.π / 4. Затем найдите приблизительное значение интеграла, используя правило трапеций с n = 4n = 4 делениями. Используйте результат, чтобы приблизить значение π.π.

317 .

Приблизительное значение ∫241lnxdx∫241lnxdx с использованием правила средней точки с четырьмя делениями до четырех знаков после запятой.

318 .

Приблизительное значение ∫241lnxdx∫241lnxdx с использованием правила трапеции с восемью делениями до четырех знаков после запятой.

319 .

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫00,8x3dx∫00,8x3dx с точностью до четырех знаков после запятой.

320 .

Используйте правило трапеции с четырьмя делениями, чтобы оценить ∫00,8x3dx.∫00,8x3dx. Сравните это значение с точным значением и найдите оценку ошибки.

321 .

Используя правило Симпсона с четырьмя делениями, найдите ∫0π / 2cos (x) dx.∫0π / 2cos (x) dx.

322 .

Покажите, что точное значение ∫01xe − xdx = 1−2e.∫01xe − xdx = 1−2e. Найдите абсолютную ошибку, если аппроксимируете интеграл с помощью правила средней точки с 16 делениями.

323 .

Дано ∫01xe − xdx = 1−2e, ∫01xe − xdx = 1−2e, используйте правило трапеции с 16 делениями, чтобы аппроксимировать интеграл и найти абсолютную ошибку.

324 .

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫03 (5x + 4) dx∫03 (5x + 4) dx, используя правило трапеций с шестью шагами.

325 .

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫451 (x − 1) 2dx∫451 (x − 1) 2dx, используя правило трапеций с семью частями.

326 .

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫03 (6×2−1) dx∫03 (6×2−1) dx, используя правило Симпсона с n = 10n = 10 шагами.

327 .

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫251x − 1dx∫251x − 1dx с использованием правила Симпсона с n = 10n = 10 шагами.

328 .

Найдите верхнюю границу ошибки при оценке ∫0π2xcos (x) dx∫0π2xcos (x) dx, используя правило Симпсона с четырьмя шагами.

329 .

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла ∫14 (5×2 + 8) dx∫14 (5×2 + 8) dx с величиной ошибки менее 0,0001, используя правило трапеций.

330 .

Определите значение n так, чтобы правило трапеции приближалось к ∫011 + x2dx∫011 + x2dx с ошибкой не более 0.01.

331 .

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла 23 (2×3 + 4x) dx∫23 (2×3 + 4x) dx с погрешностью менее 0,0001, используя правило трапеций.

332 .

Оцените минимальное количество подынтервалов, необходимых для аппроксимации интеграла ∫341 (x − 1) 2dx∫341 (x − 1) 2dx с величиной ошибки менее 0,0001, используя правило трапеций.

333 .

Используйте правило Симпсона с четырьмя делениями, чтобы аппроксимировать площадь под функцией плотности вероятности y = 12πe − x2 / 2y = 12πe − x2 / 2 от x = 0x = 0 до x = 0.4. х = 0,4.

334 .

Используйте правило Симпсона с n = 14n = 14 для аппроксимации (до трех десятичных знаков) площади области, ограниченной графиками y = 0, y = 0, x = 0, x = 0 и x = π / 2. .x = π / 2.

335 .

Длина одной дуги кривой y = 3sin (2x) y = 3sin (2x) определяется выражением L = ∫0π / 21 + 36cos2 (2x) dx.L = ∫0π / 21 + 36cos2 (2x) dx. Оцените L , используя правило трапеций с n = 6.n = 6.

336 .

Длина эллипса x = acos (t), y = bsin (t), 0≤t≤2πx = acos (t), y = bsin (t), 0≤t≤2π определяется как L = 4a∫ 0π / 21 − e2cos2 (t) dt, L = 4a∫0π / 21 − e2cos2 (t) dt, где e — эксцентриситет эллипса.Используйте правило Симпсона с n = 6n = 6 делениями, чтобы оценить длину эллипса, когда a = 2a = 2 и e = 1 / 3.e = 1/3.

337 .

Оцените площадь поверхности, образованную вращением кривой y = cos (2x), 0≤x≤π4y = cos (2x), 0≤x≤π4 вокруг оси x . Используйте правило трапеции с шестью делениями.

338 .

Оцените площадь поверхности, образованную вращением кривой y = 2×2, y = 2×2, 0≤x≤30≤x≤3 вокруг оси x- . Используйте правило Симпсона с n = 6.n = 6.

339 .

Скорость роста определенного дерева (в футах) определяется выражением y = 2t + 1 + e − t2 / 2, y = 2t + 1 + e − t2 / 2, где t — время в годах. Оцените рост дерева до конца второго года, используя правило Симпсона, используя два подинтервала. (Ответ округлите до сотых.)

340 .

[T] Используйте калькулятор, чтобы приблизительно определить ∫01sin (πx) dx∫01sin (πx) dx, используя правило средней точки с 25 делениями. Вычислите относительную ошибку приближения.

341 .

[T] Учитывая 15 (3×2−2x) dx = 100, 15 (3×2−2x) dx = 100, аппроксимируйте значение этого интеграла, используя правило трапеций с 16 делениями, и определите абсолютную ошибку.

342 .

Учитывая, что мы знаем фундаментальную теорему исчисления, зачем нам развивать численные методы для определенных интегралов?

343 .

В таблице представлены координаты (x, y) (x, y), которые определяют границу участка. Единицы измерения — метры. Используйте правило трапеции, чтобы оценить количество квадратных метров земли на этом участке.

x y x y
0 125 600 95
100 125 700 88
200 120 800 75
300 112 900 35
400 90 1000 0
500 90
344 .

Выберите правильный ответ. Когда для аппроксимации определенного интеграла используется правило Симпсона, необходимо, чтобы количество разбиений составляло ____

.
  1. четное число
  2. нечетное число
  3. четное или нечетное число
  4. , кратное 4
345 .

Сумма «Симпсон» основана на площади под ____.

346 .

Формула ошибки для правила Симпсона зависит от ___.

  1. f (x) f (x)
  2. f ′ (x) f ′ (x)
  3. f (4) (x) f (4) (x)
  4. количество ступеней

5.2+ 1`, то `du = 2x \ dx`.

Но вопрос не содержит «x \ dx» термин , поэтому мы не может решить ее ни одним из методов интеграции, которые мы встречали до сих пор.

Нам нужно использовать численных подходов. (Обычно так программное обеспечение Mathcad или графические калькуляторы выполняют определенные интегралы).

Мы можем использовать один из двух методов:

Правило трапеции

Мы увидели основную идею в нашей первой попытке решить область под арками проблема раньше.

Вместо прямоугольников, как в задаче с арками, мы будем использовать трапеции (трапеции), и мы обнаружим, что это дает лучшее приближение к области.

Примерная площадь под кривой находится путем добавления площадь всех трапеций.

(Напомним, что мы пишем «Δ x », чтобы обозначать «небольшое изменение в x ».)

Площадь трапеции

Теперь площадь трапеции (трапеции) определяется как:

`« Площадь »= h / 2 (p + q)`

Нам нужны «правильные» трапеции (что означает, что параллельные стороны находятся под прямым углом к ​​основанию), и они повернуты на 90 °, так что их новое основание фактически составляет h , как показано ниже, и h = Δ x .

Площадь под кривой с использованием правила трапеции

y 0

л 1

«Deltax»

«Типичная» трапеция

Итак, общая площадь определяется по:

`» Площадь «~~ 1/2 (y_0 + y_1) Deltax +` `1/2 (y_1 + y_2) Deltax +` `1/2 (y_2 + y_3) Deltax + …`

Мы можем упростить это и дать нам правило трапеции , для трапеций `n` :

`» Площадь «~~` Deltax ((y_0) / 2 + y_1 + y_2 + y_3 + « {:… + (y_n) / 2) `

Чтобы найти `Δx` для области от` x = a` до `x = b`, мы используем:

`Deltax = (b-a) / n`

и нам еще нужно

`y_0 = f (а)`

`y_1 = f (a + Δx)`

`y_2 = f (a + 2Δx)`

`…`

`y_n = f (b)`

Примечание

  • Мы получим лучшее приближение, если возьмем больше трапеций [до предела!].2 + 1} \ dx ≈ 1.150`

    На графике выше видно, что трапеции очень близки к исходной кривой, поэтому наше приближение должно быть близко к реальному значению. Фактически, с точностью до 3 знаков после запятой, целое значение составляет 1,148.

    Правило трапеции — обзор

    19.4 Определенные интегралы

    Мы рассмотрим три метода аппроксимации определенных интегралов путем замены подынтегральной функции легко интегрируемыми выражениями. Первый метод включает частный случай суммы Римана, используемой для определения определенного интеграла.

    Пусть f будет действительной функцией, непрерывной на [ a, b ]. Вспомните из главы 14, что мы формируем разбиение P [ a , b ] на n подинтервалов равной длины. Мы введем некоторые сокращенные обозначения, поскольку в этом разделе мы будем ссылаться на точки, которые определяют это разбиение, а также на промежуточные точки и значения подынтегрального выражения в этих точках.

    Обозначение 19.4.1 Пусть a, b ∈ ℝ с a , пусть n ∈ ℕ и определим h = ( b a ) / n. Для каждого c ∈ ℝ мы пишем x c вместо a + ch. В частности, точки в разделе: x 0 = a + 0 h = a, x 1 = a + 1 h,…, x n = a + nh = b , в соответствии с обозначениями, используемыми в главе 14. Также, например, x 1/2 = a + (l / 2) h равно средняя точка [ x 0 , x 1 ].

    Далее, если подынтегральное выражение равно f ( x ), мы будем использовать f c для обозначения f ( x c ), так что, в частности, f i = f ( x i ) для i = 0,1,…, n .

    Правило прямоугольника Рассмотрим любой подынтервал [ α, β ] ⊆ [ a , b ] и определим постоянную функцию P: [ α, β ] → ℝ на

    Px = fα + β2.

    Функция P имеет значение f в средней точке интервала, на котором определено P . Мы получаем приближение к интегралу f на этом интервале,

    ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = β − αfα + β2,

    т.е. площадь под кривой y = f ( x ) между x = α и x = β аппроксимируется площадью прямоугольника с основанием [α, β ] и высотой определяется значением функции в средней точке интервала, как показано на рисунке 19.4.1.

    Рисунок 19.4.1.

    Принимая такое приближение на каждом из подинтервалов [ x i –1 , x i ] длиной h , получаем

    ∫abfxdx = ∫x0x1fxdx + x2 ∫xn − 1xnfxdx≈hf (a + 1 / 2h) + hf (a + h + (1/2) h) + ⋅⋅⋅ + hf (a + n − 1h + (1/2) h)

    и поэтому мы получить правило прямоугольника

    (19.4.1) ∫abfxdx≈hf1 / 2 + f3 / 2 + ⋅⋅⋅ + f2n − 1/2.

    Трапецеидальная линейка Аналогичным образом мы можем взять прямую аппроксимацию подынтегрального выражения и определить функцию P : [ α , β ] → ℝ на

    Px = qx + r,

    , где q и r таковы, что P и f совпадают в конечных точках интервала, i.е. qα + r = f ( α ) и qβ + r = f ( β ). Константа q может быть равна нулю, так что P является либо линейным, либо постоянным. Это дает приближение

    ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = q2x2 + rxαβ = q2β2 − α2 + r (β − α) = β − α2α + βq + 2r = β − α2qα + r + qβ + r = β − α2fα + fβ .

    Обратите внимание, что нам не нужно явно определять константы q find r .

    В этом случае площадь под кривой аппроксимируется площадью трапеции с вершинами ( α , 0), ( β , 0), ( β , f ( β ) ) и ( α, f ( α )), как показано на рисунке 19.4.2.

    Рисунок 19.4.2.

    Говоря об этом приближении на каждом из n подынтервалов длиной h = ( b — a ) / n ,

    ∫abfxdx≈h3f0 + f1 + f1 + f2 + ⋅⋅⋅ + fn− 1 + fn

    , и это дает правило трапеции

    (19.4.2) ∫abfxdx≈h3f0 + 2f1 + ⋅⋅⋅ + 2fn − 1 + fn.

    Замечание Для определенного типа подынтегральной функции комбинация правил прямоугольника и трапеции может использоваться для получения границы ошибки.Для доказательства необходимой теоремы нам потребуется использовать тот факт, что вогнутая кривая лежит между хордой и касательной.

    Лемма 19.4.2 Пусть f — вещественная функция с f ‘непрерывной на [ a, b ] и положительной f на ( a, b ). Пусть c ∈ [ a, b ] и пусть касательная к графику f на ( c, f ( c )) и хорда через ( a, f ( a )) и ( b, f ( b )) имеют уравнения y = t ( x ) и y = h ( x ) соответственно.Тогда

    tx≤fx≤hxx∈ab

    и строгое неравенство сохраняется, за исключением t ( c ) = f ( c ), f ( a ) = h ( a ) и f ( b ) = h ( b ).

    Доказательство Тангенс имеет уравнение y — f ( c ) = f ‘ ( c ) ( x c ). Следовательно, для x ∈ [ a, b ]

    (19.4.3) tx = fc + f′cx – c.

    Хорда имеет уравнение y − fa = fb − fab − ax − a. Следовательно, для x ∈ [ a, b ],

    (19.4.4) hx = fa + fb − fab − ax − a = b − xb − afa + x − ab − afb.

    Для любых s, t ∈ [ a, b ] с s t по теореме Тейлора о [ s, t ], существует u ∈ ( s, t ) такое, что

    ft = fs + f′st − s + f ″ u2t − s2.

    Следовательно, поскольку f ″ ( u )> 0,

    (19.4.5) ft> fs + f′st – s.

    Положив s = c , t = x в (19.4.5) и используя (19.4.3), получим

    (19.4.6) fx> txx∈ab – c.

    Положив s = x , t = a , затем s = x, t = b в (19.4.5) дает,

    (19.4.7) fa> fx – f′xx – ax ∈ab,

    (19.4.8) fb> fx + f′xb – xx∈ab.

    Сложение ( b — x ) × (19.4.7) и ( x a ) × (19.4.8) дает для x ∈ ( a, b ),

    b –Xfa + x – bfb> b – xfx + x – afx = b – a / x.

    Следовательно, используя (19.4.4),

    (19.4.9) hx> fxx∈ab.

    Объединение (19.4.6) и (19.4.9) и наблюдение, что t ( c ) = f ( c ), f ( a ) = h ( a ) и f ( b ) = h ( b ), завершает доказательство.

    Теорема 19.4.3 Lei f — вещественная функция, причем f ′ непрерывна на [ a, b ] и f «положительна на ( a, b ). Пусть I R и I T будут приближениями к ∫ a b f (x) dx, полученным с использованием правил прямоугольника и трапеции, соответственно, для простейшего случая, n = 1. Тогда

    (19.4.10) ИК <∫abfxdx

    Proof Постройте две трапеции с основанием [ a, b ] и параллельными сторонами, перпендикулярными оси x и проходящей через ( a , 0) и ( b , 0), соответственно. Во-первых, принимая наклонную сторону за соединение хорды ( a, f ( a )) и ( b , f ( b )), получаем трапецию, используемую в линейке трапеций, площадь I T .Чтобы получить второе, возьмите касательную к кривой в средней точке (( a + b ) / 2, f (( a + b ) / 2)) как наклонную сторону (см. рисунок 19.4.3).

    Рисунок 19.4.3.

    Площадь второй трапеции — это средняя длина параллельных сторон, которая равна высоте трапеции в средней точке интервала, умноженной на длину интервала. Следовательно, площадь равна f (( a + b ) / 2) ( b — a ), что в точности соответствует приближению, полученному по правилу прямоугольника, I R .

    По лемме 19.4.2 хорда лежит над кривой, а касательная — под ней. Таким образом,

    Пример 19.4.4 Используйте правила прямоугольника и трапеции для получения приближений к

    I = ∫011 − cosx2dx,

    , рассматривая четыре подинтервала. Получите дальнейшее приближение и оценку погрешности.

    Решение Пусть f ( x ) = 1 — cos ( x 2 ). Для правила трапеции нам нужно значение подынтегральной функции в конечных точках, а для правила прямоугольника — значения в средней точке каждого подынтервала.В целом нам потребуются значения подынтегральной функции f c при девяти значениях, приведенных в следующей таблице

    c Xc fc = f (x c )
    0
    1/2
    1
    0
    0 · 125
    0 · 25
    0 · 00000000
    0 · 00012207
    0 · 00195249
    3/2
    2
    0 · 325
    0 · 5
    0 · 00987141
    0 · 03108758
    5/2
    3
    7/2
    4
    0,625
    0 · 75
    0 · 825
    1
    0 · 07532874

    0 · 2 154075 27

    2
    0 · 45969769

    Поскольку существует четыре подинтервала [0, 1], h = 1/4 и из (19.4.1) и (19.4.2),

    IR = 14f1 / 2 + f3 / 2 + f5 / 2 + f7 / 2 = 0,0209IT = 18f0 + 2f1 + 2f2 + 2f3 + f4 = 0,104241104

    Теперь f ′ ( x ) = 2 x sin ( x 2 ) найти f « ( x ) = 2sin ( x 2 ) + 4 x 2 cos ( x 2 )> 0 для x ∈ [0, 1]. Таким образом, по теореме 19.4.3 мы имеем 0 · 0209 < I <0 · 104241104. Принимая среднюю точку в качестве приближения, мы получаем

    I = 0 · 09766716 ± 0 · 00657395

    Задача 19.4.5 Покажите, как теорема 19.4.3 может быть адаптирована для использования с действительными функциями f таким образом, что f ‘ является непрерывным на [ a, b ] и f « ( x ) <0 (скорее что f « ( x )> 0) для x ∈ ( a, b ).

    Задача 19.4.6 Пусть I R и I T будут приближениями к интегралу, полученному с использованием правила прямоугольника и правила трапеции, соответственно, на интервалах n .Если I ′ T — это трапециевидное приближение на 2 n подинтервалов к одному и тому же интегралу, покажите, что

    IT ′ = 12IR + IT.

    Используя это и результаты примера 19.4.4, получите дополнительное приближение к

    ∫011 − cosx2dx.

    Правило Симпсона Принимая другое приближение для подынтегрального выражения, мы рассматриваем функцию P : [ α, β ] → ℝ, определенную как

    Px = px2 + qx + r,

    , где любая из констант p, q и r могут быть равны нулю, так что P является квадратичной, линейной или постоянной функцией.Функция P должна согласовать с f в трех точках : конечных точках и средней точке [ α, β ]. Таким образом,

    (19.4.11) pα2 + qα + r = fα,

    (19.4.12) pβ2 + qβ + r = fβ

    и

    (19.4.13) pα + β22 + qα + β2 + r = fα + β2

    Аппроксимация интеграла, определенного с помощью P , составляет

    ∫αβfxdx≈∫αβPxdx = 13px3 + 12qx2 + rxαβ = 13pβ2 − α2 + 12 (β2 − α2) + r (β − α) = β− α62pα2 + αβ + β2 + 3qα + β + 6r = β − α6pα2 + qα + r + pα + β2 + 2qα + β + 4r + pβ2 + qβ + r = β − α6fα + 4fα + β2 + fβ,

    , используя ( 19.4.11) — (19.4.13). Еще раз, нет необходимости вычислять константы p, q и r , определяющие приближение.

    Применение этого результата к каждому из n подынтервалов [ a, b ]

    ∫abfxdx≈h6f0 + 4f1 / 2 + f1 + f1 + 4f3 / 2 + f2 + ⋅⋅⋅ + fn − 1 + 4f2n− 1/2 + fn,

    и поэтому мы получаем правило Симпсона

    ∫abfxdx≈h6f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + 2f2 + ⋅⋅⋅ + 2fn − 1 + 4f2n − 1/2 + fn.

    Обычно это называется правилом Симпсона с 2 n + 1 ординатами , поскольку функция должна быть оценена в 2 n + 1 балл.Рассмотрим следующие случаи: правило Симпсона с тремя ординатами (один подынтервал длиной h = b — a ) с аппроксимацией

    (19.4.14) ∫abfxdx≈b − a6f0 + 4f1 / 2 + f1,

    с пятью ординатами (два подинтервала длиной h = ( b — a ) / 2),

    (19.4.15) ∫abfxdx≈b − a12f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + f2,

    и с семью ординатами (три подынтервала длиной h = ( b — a ) / 3),

    (19.4.16) ∫abfxdx≈b − a8f0 + 4f1 / 2 + 2f1 + 4f3 / 2 + f2 + 4f5 / 2 + f3.

    Пример 19.4.7 Сравните точное значение

    ∫01dx1 + x2

    с приближением, полученным с помощью правила Симпсона с тремя ординатами.

    Решение Пусть f ( x ) = 1 / (1 + x 2 ). Тогда

    ∫01fxdx = tan − 1×01 = π4≈0,78540

    и, из (19.4.14),

    ∫01fxdx≈1−06f0 + 4f1 / 2 + f1 = 161 + 165 + 12 = 4760≈0,78333

    Примечание 19.4.8 Для функции f , для которой существует f (4) и непрерывно на [ α, β ], может быть показано, что ошибка в правиле Симпсона (на одном подынтервале), а именно

    E = ∫αβfxdx − β − ​​α6fα + 4fα + β2 + fβ,

    задается как

    E = −β − α5180f4ξ24,

    для некоторых ξ ∈ ( α, β ).Отсюда следует, что если четвертая производная от f тождественно равна нулю, , то есть , если f ( x ) является многочленом степени меньше или равной трем, то правило Симпсона точное . Это неудивительно, если f является постоянным, линейным или квадратичным, поскольку в таких случаях P ( x ) = f ( x ). В случае, если f является кубическим, f и P не идентичны, но две конечные области между кривыми (см. Рисунок 19.4.4) имеют равные площади и поэтому точно отменяются.

    Рисунок 19.4.4.

    Задача 19.4.9 Непосредственно покажите, что если f ( x ) = x 3 , то

    ∫abfxdx = b − a6fa + 4fa + b2 + fb.

    Пример 19.4.10 Используйте правило Симпсона с пятью и семью ординатами, чтобы получить приблизительные значения для

    I = ∫04dxx2−3x + 4.

    Решение Для правила Симпсона с пятью ординатами мы имеем h = (4 — 0) / 2 = 2,

    94799 1/4
    c x c f c
    0 0 1/4
    1/2 1 1/2
    1 2 1/2
    3/2 3 3
    2 4 1/8

    где f c = l / ( x 2 c + 4) и (19.4.15) дает

    I≈I5 = 4−01214 + 412 + 212 + 414 + 18 = 3524.

    Для правила Симпсона с семью ординатами имеем h = (4-0) / 3 = 4/3,

    16

    00 0 8
    c x c f c
    0 1/4
    1/2 2/3 9/22
    1 4/3 9/16
    3/2 3/2 2 1/2
    2 8/3 9/28
    5/2 10/3 9/46
    3 1 4

    и (19.4.16) дает

    I≈I7 = 4−01814 + 4922 + 2916 + 412 + 2928 + 4946 + 18 = 2324215939.

    До пяти знаков после запятой имеем

    I5≈1 · 45833 и I7≈1 · 45818.

    Задача 19.4.11 Пусть E n обозначает ошибку в правиле Симпсона с использованием подинтервалов n , то есть 2 n + 1 ординаты. Предположим, что f — вещественная функция, такая что f (4) существует и является непрерывной на [ a, b ]. По теореме 7.3.11 существует M ∈ ℝ такое, что | f (4) ( x ) | ≤ M для всех x ∈ ℝ. FVom Note 19.4.8 имеем

    E1≤b − a5180M24.

    Выведите

    E2≤b − a5180M44

    и получите оценку для E n .

    2.5: Численное интегрирование — середина, трапеция, правило Симпсона

    Первообразные многих функций либо не могут быть выражены, либо не могут быть легко выражены в замкнутой форме (то есть в терминах известных функций).Следовательно, вместо того, чтобы напрямую оценивать определенные интегралы этих функций, мы прибегаем к различным методам численного интегрирования для аппроксимации их значений. В этом разделе мы исследуем несколько из этих техник. Кроме того, мы исследуем процесс оценки ошибки при использовании этих методов. 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.Сравните результат с фактическим значением этого интеграла.

    Решение: каждый подынтервал имеет длину \ (Δx = \ dfrac {1−0} {4} = \ dfrac {1} {4}. \) Следовательно, подынтервалы состоят из

    \ [\ left [0, \ tfrac {1} {4} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {4}, \ tfrac {1} {2} \ right], \, \ left [\ tfrac {1} {2}, \ tfrac {3} {4} \ right], \, \ text {и} \, \ left [\ tfrac {3} {4}, 1 \ right]. \ nonumber \]

    Середины этих подинтервалов: \ (\ left \ {\ frac {1} {8}, \, \ frac {3} {8}, \, \ frac {5} {8}, \, \ frac {7 } {8} \ right \}.2} \),

    \ (M_6 = \ tfrac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {5} {4} \ right) + \ tfrac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {7} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {9} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac { 11} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ frac {13} {4} \ right) + \ frac {1} {2} \ cdot f \ left (\ гидроразрыв {15} {4} \ right) \)

    \ (≈ \ frac {1} {2} (1,6008 + 2,0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810) = 8,1431 \) единиц. 2_1 \ frac {1} {x} \, dx.\)

    Подсказка

    \ (Δx = \ frac {1} {2}, \ quad m_1 = \ frac {5} {4}, \ quad \ text {и} \ quad m_2 = \ frac {7} {4}. \)

    Ответ

    \ (\ dfrac {24} {35} \)

    Правило трапеции

    Мы также можем приблизить значение определенного интеграла, используя трапеции, а не прямоугольники. На рисунке \ (\ PageIndex {2} \) область под кривой аппроксимирована трапециями, а не прямоугольниками.

    Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Трапеции можно использовать для аппроксимации площади под кривой, таким образом аппроксимируя определенный интеграл.

    Правило трапеций для оценки определенных интегралов использует трапеции, а не прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Чтобы понять окончательную форму правила, рассмотрим трапеции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Мы предполагаем, что длина каждого подынтервала равна \ (Δx \). b_af (x) \, dx≈ \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_0) + f (x_1) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( f (x_1) + f (x_2) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big (f (x_2) + f (x_3) \ big) + \ frac {1} {2} Δx \ big ( е (х_3) + е (х_4) \ большой).b_af (x) \, dx≈ \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +2 \, f (x_3) + f ( x_4) \ большой). \ nonumber \]

    Обобщая, формально сформулируем следующее правило.

    Правило трапеции

    Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — натуральное число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2…, x_n \}. \ )

    Набор

    \ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) ) + е (x_n) \ большой).nf (x_i) Δx. \)

    То есть \ (L_n \) и \ (R_n \) аппроксимируют интеграл, используя левую и правую конечные точки каждого подинтервала, соответственно. Вдобавок внимательное изучение рисунка \ (\ PageIndex {3} \) приводит нас к следующим наблюдениям об использовании правил трапеции и правил средней точки для оценки определенного интеграла неотрицательной функции. Правило трапеции имеет тенденцию систематически переоценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вверх, и систематически недооценивать значение определенного интеграла на интервалах, где функция вогнута вниз.С другой стороны, правило средней точки имеет тенденцию несколько усреднять эти ошибки, частично переоценивая и частично недооценивая значение определенного интеграла для тех же самых типов интервалов. Это заставляет нас предположить, что в целом правило средней точки имеет тенденцию быть более точным, чем правило трапеции.

    Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Правило трапеции имеет тенденцию быть менее точным, чем правило средней точки.

    Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование правила трапеции

    Используйте правило трапеции для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx \) с использованием четырех подинтервалов.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

    Подсказка

    Набор \ (Δx = \ dfrac {1} {2}. \) Конечные точки подынтервалов являются элементами множества \ (P = \ left \ {1, \ frac {3} {2}, 2 \ right \}. \)

    Ответ

    \ (\ dfrac {17} {24} \)

    Абсолютная и относительная погрешности

    Важным аспектом использования этих правил численной аппроксимации является вычисление погрешности их использования для оценки значения определенного интеграла.Сначала нам нужно определить абсолютную ошибку и относительную ошибку.

    Определение: абсолютная и относительная погрешность

    Если \ (B \) — наша оценка некоторой величины, имеющей фактическое значение \ (A \), то абсолютная ошибка определяется как \ (| A-B | \).

    Относительная ошибка — это ошибка в процентах от фактического значения, выражаемая как \ [\ left \ lvert \ frac {A-B} {A} \ right \ rvert⋅100 \%. 2 \, dx \), используя правило средней точки, найденное в примере \ (\ PageIndex {1} \).2_1 \ frac {1} {x} \, dx \) быть \ (\ frac {24} {35} \) с использованием \ (T_2 \). Фактическое значение этого интеграла \ (\ ln 2 \). Используя \ (\ frac {24} {35} ≈0.6857 \) и \ (\ ln 2≈0.6931, \) вычислите абсолютную ошибку и относительную ошибку.

    Подсказка

    Используйте предыдущие примеры в качестве руководства.

    Ответ

    абсолютная погрешность \ (\ приблизительно 0,0074, \) и относительная погрешность \ (\ приблизительно 1,1 \% \)

    Границы ошибок на средней точке и трапециевидные правила

    В двух предыдущих примерах мы смогли сравнить нашу оценку интеграла с фактическим значением интеграла; однако обычно у нас нет такой роскоши.В общем, если мы приближаем интеграл, мы делаем это, потому что мы не можем легко вычислить точное значение самого интеграла. Поэтому часто бывает полезно определить верхнюю границу ошибки при приближении интеграла. Следующая теорема предоставляет границы ошибок для средней точки и правил трапеции. Теорема формулируется без доказательства.

    Границы ошибок для средней точки и трапецеидальные правила

    Пусть \ (f (x) \) — непрерывная функция над \ ([a, b] \), имеющая вторую производную \ (f » (x) \) на этом интервале.2} \, dx − M_n \ right \ rvert <0,01. \ Nonumber \]

    Анализ

    У нас могло возникнуть искушение округлить \ (8.24 \) в меньшую сторону и выбрать \ (n = 8 \), но это было бы неверно, потому что у нас должно быть целое число больше или равное \ (8.24 \). Мы должны иметь в виду, что оценки ошибок дают верхнюю границу только для ошибки. Фактическая оценка на самом деле может быть гораздо лучшим приближением, чем указано в границах погрешности.

    Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

    Используйте уравнение, чтобы найти верхнюю границу ошибки при использовании \ (M_4 \) для оценки \ (\ displaystyle ∫ ^ 1_0x ^ 2 \, dx.\)

    Подсказка

    \ (f » (x) = 2, \) поэтому \ (M = 2. \)

    Ответ

    \ (\ dfrac {1} {192} \)

    Правило Симпсона

    С помощью правила средней точки мы оценили площади областей под кривыми с помощью прямоугольников. В некотором смысле мы аппроксимировали кривую кусочно-постоянными функциями. С помощью правила трапеции мы аппроксимировали кривую с помощью кусочно-линейных функций.{x_4} _ {x_2} f (x) \, dx \) с интегралом от другой квадратичной функции, проходящим через \ ((x_2, f (x_2)), \, (x_3, f (x_3)), \) и \ ((x_4, f (x_4)). \) Этот процесс продолжается с каждой последовательной парой подынтервалов.

    Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): С помощью правила Симпсона мы приближаем определенный интеграл, интегрируя кусочно-квадратичную функцию.

    Чтобы понять формулу, которую мы получаем для правила Симпсона, мы начнем с вывода формулы для этого приближения для первых двух подинтервалов.{x_4} _ {x_0} f (x) \, dx = \ frac {Δx} {3} (f (x_0) +4 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) +4 \, f ( x_3) + f (x_4)). \ nonumber \]

    Шаблон продолжается, когда мы добавляем пары подинтервалов к нашему приближению. Общее правило можно сформулировать следующим образом.

    Правило Симпсона

    Предположим, что \ (f (x) \) непрерывно над \ ([a, b] \). Пусть \ (n \) — положительное четное целое число и \ (Δx = \ dfrac {b − a} {n} \). Пусть \ ([a, b] \) разделен на \ (n \) подынтервалы, каждый длиной \ (Δx \), с конечными точками в \ (P = \ {x_0, x_1, x_2,…, x_n \}.b_af (x) \, dx. \ nonumber \]

    Точно так же, как правило трапеций представляет собой среднее значение правил левой и правой руки для оценки определенных интегралов, правило Симпсона может быть получено из средней точки и правил трапеций с использованием средневзвешенного значения. Можно показать, что \ (S_ {2n} = (\ dfrac {2} {3}) M_n + (\ dfrac {1} {3}) T_n \).

    Также возможно установить предел ошибки при использовании правила Симпсона для аппроксимации определенного интеграла. {(4)} (x) \) на этом интервале.2_1 \ frac {1} {x} \, dx. \)

    Подсказка

    \ [S_2 = (\ frac {1} {3} Δx (f (x_0) + 4f (x_1) + f (x_2)) \]

    Ответ

    \ (\ frac {25} {36} \)


    Ключевые понятия

    • Мы можем использовать численное интегрирование для оценки значений определенных интегралов, когда замкнутая форма интеграла трудно найти или когда требуется приближенное значение только определенного интеграла.
    • Наиболее часто используемые методы численного интегрирования — это правило средней точки, правило трапеции и правило Симпсона.
    • Правило средней точки приближает определенный интеграл с использованием прямоугольных областей, тогда как правило трапеции приближает определенный интеграл с использованием трапецеидальных приближений.
    • Правило Симпсона приближает определенный интеграл, сначала аппроксимируя исходную функцию с помощью кусочно-квадратичных функций. b_af (x) \, dx \) с использованием площади под кусочно-квадратичной функцией.b_af (x) \, dx \) задается выражением \ [T_n = \ frac {Δx} {2} \ big (f (x_0) +2 \, f (x_1) +2 \, f (x_2) + ⋯ + 2 \, f (x_ {n − 1}) + f (x_n) \ big). \ Nonumber \]

      Авторы

      • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

      • Отредактировал Пол Сибургер (Колледж Монро). Добавлены примечания к развертке области под параболой и исправлены опечатки в исходном тексте.
      .
Опубликовано в категории: Разное

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *