Как найти площадь треугольника — Лайфхакер
Как найти площадь любого треугольника
Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.
Зная сторону и высоту
- Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.
Зная две стороны и угол между ними
- Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
- Найдите синус угла между выбранными сторонами.
- Перемножьте полученные числа.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a и b — стороны треугольника.
- α — угол между сторонами a и b.
Сейчас читают 🔥
Зная три стороны (формула Герона)
- Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
- Найдите произведение полученных чисел.
- Умножьте результат на полупериметр.
- Найдите корень из полученного числа.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b, c — стороны треугольника.
- p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).
Зная три стороны и радиус описанной окружности
- Найдите произведение всех сторон треугольника.
- Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.
- S — искомая площадь треугольника.
- R — радиус описанной окружности.
- a, b, c — стороны треугольника.
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
- S — искомая площадь треугольника.
- r — радиус вписанной окружности.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Как найти площадь прямоугольного треугольника
- Посчитайте произведение катетов треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.
Как найти площадь равнобедренного треугольника
- Умножьте основание на высоту треугольника.
- Поделите результат на два.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
- h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.
Как найти площадь равностороннего треугольника
- Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
- Поделите результат на четыре.
- S — искомая площадь треугольника.
- a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.
Читайте также 🧠👨🏻🎓✍🏻
Как найти площадь треугольника? Ответ на webmath.ru
Содержание:
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $\alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \alpha$$
Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне — $h_{a}$, то имеет место формула:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$
Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
где $p=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=r p$$
Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{a b c}{4 R}$$
Примеры вычисления площади треугольника
Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^{\circ}$.{2}\right) \end{aligned}$
Ответ. $\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{15}{4}$ (см2)
Все формулы площади Калькулятор площади треугольникаСлишком сложно?
Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см2 ?
Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
$$\mathrm{S}_{\Delta A B C}=\frac{1}{2} a h_{a}$$то отсюда получаем, что искомая высота
$h_{a}=\frac{2 \mathrm{S}_{\Delta A B C}}{a}=\frac{2 \cdot 6}{2}=6$ (см)
Ответ. $h_{a}=6$ (см)
Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор
Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.
Выберите способ расчета площади:
через основание и высотучерез две стороны и уголпо трем сторонам (формула Герона)через радиус вписанной окружностичерез радиус описанной окружностиРассчитать
Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).
Как найти площадь треугольника?
Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов:
1) через основание и высоту
a – основание треугольника,h – высота треугольника.
2) через две стороны и угол
a, b – стороны треугольника,α – угол между сторонами.
3) По трем сторонам. Формула Герона.
a, b, с – стороны треугольника,p – полупериметр треугольника.
4) Через радиус вписанной окружности.
a, b, с – стороны треугольника,p – полупериметр треугольника,
r – радиус вписанной окружности.
5) Через радиус описанной окружности.
a, b, с – стороны треугольника,R – радиус описанной окружности.
Вы всегда сможете проверить правильность расчета площади треугольника с помощью нашего калькулятора.
Площадь треугольника. Площадь треугольника формулы. 6 формул площади треугольника.
Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно вычислить площадь треугольника.
\(S=\frac{1}{2}a*h\)
Формула Герона помогает вычислить площадь треугольника по трем сторонам треугольника:
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
где \(a,b,c\) – стороны треугольника, \(p=\frac{a+b+c}{2}\) – его полупериметр.
Площадь треугольника можно вычислить, если известно три стороны и описанная окружность:
\(S=\frac{a*b*c}{4R}\)
Площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:
\(S=pr\)
где r — радиус вписанной окружности, \(p=\frac{a+b+c}{2}\)– его полупериметр.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Наши преподаватели
Оставить заявкуБелорусский государственный педагогический университет им. М. Танка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-4 классов. Математика — отличный тренажер! Только тренирует он не мышцы, а наш ум! А я могу Вам помочь с тренировками, ведь изучать математику не всегда бывает легко. На занятиях будем развивать память и мышление, используя различные интересные задания и игры!
Репетитор по математике
Московский государственный областной университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Дрогобицкий государственный педагогический университет им. И Франка
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 5-8 классов. Я люблю детей, люблю с ними работать. Стараюсь быть с учениками на одной волне. Моя методика направлена на овладение учащимися системой математических знаний, умений и навыков, необходимых для дальнейшего изучения математики и смежных учебных предметов, решения практических задач; на развитие логического мышления, пространственного воображения, устной и письменной математической речи; на формирование навыков вычислений, алгебраических преобразований, решения уравнений и неравенств, а также инструментальных и графических навыков.
Векторы
- — Индивидуальные занятия
- — В любое удобное для вас время
- — Бесплатное вводное занятие
Похожие статьи
Записаться на бесплатный урок
Площадь треугольника
Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.
Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)
Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)
— Вычисления (показано) (скрыто)
— примечания (показано) (скрыто)
Для всех треугольников
1
Площадь треугольника по основанию и высоте
Сторона a
Высота h
Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.
2
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
Сторона a
Сторона b
Угол α° между сторонами a и b
Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.
3
Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус r вписанной окружности
4
Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Радиус R описанной окружности
5
Площадь треугольника по формуле Герона
Полупериметр:
Сторона a
Сторона b
Сторона c
6
Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам
Сторона a
Угол β°
Угол α°
Для равнобедренных треугольников
7
Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию
Сторона a (a = b)
Сторона c
8
Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними
Боковая сторона a (a = b)
Угол α° между боковыми сторонами
9
Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними
Боковая сторона a (a = b)
Основание треугольника c
Угол β° между основанием и стороной
10
Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами
Основание треугольника c
Угол α° между боковыми сторонами
Для равносторонних треугольников
11
Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию
Основание треугольника c
Высота h
12
Площадь равностороннего треугольника по стороне
Сторона a (a = b = c)
13
Площадь равностороннего треугольника по высоте
Высота h
14
Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности
Радиус r вписанной окружности
15
Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности
Радиус R описанной окружности
Для прямоугольных треугольников
16
Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
Катет a
Катет b
17
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол
Сторона c
Угол α
18
Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол
Сторона b
Угол α
19
Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность
Отрезок d
Отрезок e
20
Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность
Сторона с
Радиус r
21
Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
Полупериметр:
Сторона a
Сторона b
Сторона c
Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.
Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.
В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.
Таблица с формулами площади треугольника
Определения
Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.
Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.
Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.
Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.
Скачать формулы площади треугольника в виде картинки
По каким формулам можно вычислить площадь треугольника
Геометрия 8 класса — это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.
1. Формула площади треугольника по основанию и высоте
Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота ha, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.$S=\frac{1}{2}a h_a$
2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $\alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.$S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$
3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)
Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=\frac{1}{4}\sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$
Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.
4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам
Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.$S=\frac{1}{2}ab$
5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу
Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $\beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.2\sqrt{3}}{4}$7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности
Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.$S=\frac{abc}{4R}$
8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности
Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).$S=\frac{(a+b+c)r}{2}=pr$
9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $\beta$ и $\gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.2}$11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости
Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:$S=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{vmatrix}$
При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.
12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами
Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:$\frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$
13. Формула площади треугольника по трём медианам
Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:$S = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma — m_a)(\sigma — m_b)(\sigma — m_c)}$,
где $\sigma$ — полусумма медиан.{2} \sin \alpha \sin \beta\sin \gamma$
16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге
Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:S = В+Г/2-1,
где В — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.
Как найти площадь треугольника: прямоугольного, равнобедренного и тд
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон, образованных путем соединения трех точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.
Общие формулы расчета площади треугольника
По основанию и высоте
Площадь (S) треугольника равняется половине произведения его основания и высоты, проведенной к нему.
Формула Герона
Для нахождения площади (S) треугольника необходимо знать длины всех его сторон. Считается она следующим образом:
p – полупериметр треугольника:
Через две стороны и угол между ними
Площадь треугольника (S) равняется половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь (S) фигуры равняется половине произведения его катетов.
Площадь равнобедренного треугольника
Площадь (S) рассчитывается по следующей формуле:
Площадь равностороннего треугольника
Чтобы найти площадь правильного треугольника (все стороны фигуры равны), необходимо воспользоваться одной из формул ниже:
Через длину стороны
Через высоту
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь треугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а высота, проведенная к ней – 5 см.
Решение:
Используем формулу, в которой участвуют длина стороны и высота:
S = 1/2 ⋅ 7 см ⋅ 5 см = 17,5 см2.
Задание 2
Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3, 4 и 5 см.
Решение 1:
Воспользуемся формулой Герона:
Полупериметр (p) = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 см.
Следовательно, S = √6(6-3)(6-4)(6-5) = 6 см2.
Решение 2:
Т.к. треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный, его площадь можно посчитать по соответствующей формуле:
S = 1/2 ⋅ 3 см ⋅ 4 см = 6 см2.
— квадратурная формула на треугольнике
Возьмем симплекс с вершинами $ (0,0), (1,0), (0,1) $. Обозначим вершины индексами $ 1-3 $ и середины $ 4-6 $. Пусть $ \ ell_1 (\ xi, \ eta), \, \ ldots, \, \ ell_6 (\ xi, \ eta) $ будет базисом интерполяции Лагранжа для точек. Тогда веса для квадратуры могут быть вычислены из $$ w_i = \ int_ {T} \ ell_i (\ xi, \ eta) d \ xi d \ eta $$ Из-за симметрии $ w_1 = w_2 = w_3, w_4 = w_5 = w_6 $, поэтому мы можем интегрировать только $ \ ell_1 (\ xi, \ eta) = \ xi (2 \ xi — 1) $ и $ \ ell_4 = 4 \ xi \ eta $ Затем $$ w_1 = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ {1 — \ eta} \ xi (2 \ xi — 1) d \ xi d \ eta = 0 \\ w_2 = \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ {1 — \ eta} 4 \ xi \ eta d \ xi d \ eta = \ frac {1} {6} $$ Запрошенная квадратура не требует значений в вершинах, только в серединах ребер.Он точен для любого многочлена от $ x, y $, общая степень которого не превышает $ 2 $. $$ \ int_ {T} f (x, y) dxdy \ приблизительно \ frac {\ operatorname {area} (T)} {3} \ left [ f \ left (\ frac {x_1 + x_2} {2}, \ frac {y_1 + y_2} {2} \ right) + f \ left (\ frac {x_1 + x_3} {2}, \ frac {y_1 + y_3} {2} \ right) + f \ left (\ frac {x_2 + x_3} {2}, \ frac {y_2 + y_3} {2} \ right) \верно]
$Вы можете найти больше кубатурных формул со ссылками здесь. Тот, который вы ищете, также можно найти в A.H. Страуд, Приближенное вычисление множественных интегралов, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.6 \ alpha_i \ delta_ {ij} = \ alpha_j $$ Итак, мы приходим к единственно возможной квадратуре $$ \ int_T f (\ xi, \ eta) d \ xi d \ eta = \ sum_i f (\ mathbf r_i) w_i \\ w_i = \ int_T \ ell_i (\ xi, \ eta) d \ xi d \ eta.
$Вы также можете подойти к проблеме так: предположим, мы построили некоторую квадратуру с положительными весами. Применим его к $ \ xi (2 \ xi — 1) $. Эта функция обращается в нуль в каждом из шести узлов, кроме одной вершины. В этой вершине его значение составляет $ 1 $. Но интеграл этой функции по треугольнику равен нулю, поэтому вес также должен быть равен нулю.Противоречие.
QUADRATURE_RULES_TRI — Квадратурные правила для треугольников
QUADRATURE_RULES_TRI — Квадратурные правила для треугольниковQUADRATURE_RULES_TRI это каталог набора данных, который содержит примеры квадратурных правил для треугольной области. Квадратурное правило — это набор из n точек (x, y) и связанных весов w , так что интеграл функции f (x, y) над треугольником T можно аппроксимировать следующим образом:
Интеграл f (x, y) dx dy = Area (T) * Sum (1 <= i <= n) w (i) * f (x (i), y (i))
Площадь треугольника равна интегралу функции е (х, у) = 1.Это означает, что каждое полезное квадратурное правило должен удовлетворить
Сумма (1 <= i <= n) w (i) = 1
Тот факт, что веса должны быть в сумме равными 1, дает простую проверку
расчеты.(Другие таблицы квадратурных правил для треугольников могут последовать другое соглашение, в котором сумма весов равна 1/2. Такой соглашение упрощает интеграцию по единичному треугольнику, но немного сложнее интегрировать по общему треугольнику.У меня сложилось впечатление, что сумма всех квадратурных правил должна быть равна 1, так что зависимость от площади региона обособленная и очевидная.)
Квадратурные правила для треугольника обычно определяются по T1, единичный треугольник с вершинами (0,0), (1,0), (0,1). Отсюда следует, что для интеграла по T1 имеем:
Интеграл f (x, y) dx dy = Area (T1) * Sum (1 <= i <= n) w (i) * f (x (i), y (i))
= 1/2 * Sum (1 <= i <= n) w (i) * f (x (i), y (i))
Существует стандартная методика преобразования квадратурного правила
если его нужно применить к общему треугольнику.Для этого каталога квадратурное правило хранится в виде трех файлов, содержащий веса w, точки (x, y) и вершины, которые определяют треугольная область (обычно (0,0), (1,0), (0,1)).
Пример:
Вот пример квадратурного правила для единичного треугольника: порядка 6.
Вот текст X-файла, в котором хранятся абсциссы такого правила:
0.6522374092 0,231933368553031
0,65
22374092 0,10903
72877
0,231933368553031 0,6522374092
0,231933368553031 0,10903
72877
0,1090372877 0,6522374092
0,10903
72877 0,231933368553031
Вот текст файла "W", в котором хранятся веса такого правила.
0,16666666666666666667
0,16666666666666666667
0,16666666666666666667
0.16666666666666666667
0,16666666666666666667
0,16666666666666666667
которые в сумме равны 1.Вот текст файла "R", в котором хранятся вершины треугольника:
0,0 0,0
1,0 0,0
0,0 1,0
площадь которого равна 1/2.Лицензирование:
Компьютерный код и файлы данных, описанные и доступные на этой веб-странице распространяются по лицензия GNU LGPL.
Связанные данные и программы:
ДУНАВАН, библиотека FORTRAN90, которая определяет правила Дюнавана для квадратуры на треугольнике.
ФЕКЕТ, библиотека FORTRAN90, которая определяет правила Фекете для квадратуры или интерполяции по треугольнику.
GM_RULE, библиотека FORTRAN90, которая определяет Grundmann-Moeller правила квадратуры над треугольником, тетраэдром или общим M-мерный симплекс.
NCC_TRIANGLE, библиотека FORTRAN90, которая определяет замкнутую квадратуру Ньютона-Котеса правила на треугольнике.
NCO_TRIANGLE, библиотека FORTRAN90, которая определяет открытую квадратуру Ньютона-Котеса правила на треугольнике.
QUADRATURE_RULES_PYRAMID, каталог набора данных, который содержит квадратурные правила для пирамиды с квадратным основанием.
QUADRATURE_RULES_TET, каталог набора данных, который содержит квадратурные правила для тетраэдров, хранится в виде файла абсцисс, файла весов, и массив вершин.
QUADRATURE_RULES_WEDGE, каталог набора данных, который содержит квадратурные правила для клина (треугольник x линия).
КВАДРЕЛЬ, библиотека FORTRAN90, которая определяет различные квадратурные правила.
SIMPACK, библиотека FORTRAN77, которая аппроксимирует интеграл функции или вектор функций над многомерным симплексом или областью, которая является сумма многомерных симплексов.
ШТАНГ, библиотека FORTRAN90, которая определяет квадратурные правила для множества геометрических фигур.
TEST_TRI_INT, библиотека FORTRAN90, которая может использоваться для тестирования алгоритмов для квадратуры над треугольником.
TRIANGLE_EXACTNESS, программа FORTRAN90, которая исследует полиномиальную точность квадратурного правила для треугольника.
Использованная литература:
- Ярле Бернтсен, Терье Эспелид,
Алгоритм 706,
DCUTRI: алгоритм для адаптивной кубатуры над набором треугольников,
ACM Transactions on Mathematical Software,
Volume 18, Number 3, September 1992, pages 329-342. - Элиза деДонкер, Ян Робинсон,
Алгоритм 612: Интеграция по треугольнику с использованием нелинейной экстраполяции,
ACM Transactions on Mathematical Software,
Volume 10, Number 1, March 1984, страницы 17-22. - Дирк Лори,
Алгоритм 584, CUBTRI, Автоматическая кубатура над треугольником,
ACM Transactions on Mathematical Software,
Volume 8, Number 2, 1982, pages 210-218. - Джеймс Лайнесс, Деннис Джесперсен,
Симметричные квадратурные правила средней степени для треугольника,
Журнал Института математики и его приложений,
Том 15, номер 1, февраль 1975 г., страницы 19-32. - Ханс Рудольф Шварц,
Методы конечных элементов,
Academic Press, 1988,
ISBN: 0126330107,
LC: TA347.F5.S3313. - Гилберт Стрэнг, Джордж Фикс,
Анализ метода конечных элементов,
Кембридж, 1973,
ISBN: 096140888X,
LC: TA335.S77. - Артур Страуд,
Приближенное вычисление кратных интегралов,
Прентис Холл, 1971,
ISBN: 0130438936,
LC: QA311.S85. - Ольгерд Зенкевич,
Метод конечных элементов,
, шестое издание,
Butterworth-Heinemann, 2005,
ISBN: 0750663200,
LC: TA640.2.Z54
Образцы файлов:
CENTROID , правило центроида, порядок 1, степень точности 1.
GAUSS4X4 , порядок 16, точность 7, (по сути, продукт двух 4-точечных одномерных правил Гаусса-Лежандра).
GAUSS8X8 , порядок 64, точность 15, (по сути, продукт двух 8-балльных одномерных правил Гаусса-Лежандра).
SEVEN_POINT , порядок 7, степень точности 3.
STRANG1 , порядок 3, степень точности 2.
STRANG2 , порядок 3, степень точности 2.
STRANG3 , порядок 4, степень точности 3.
STRANG4 , порядок 6, степень точности 3.
STRANG5 , порядок 6, степень точности 4.
STRANG6 , порядок 7, степень точности 4.
STRANG7 , порядок 7, степень точности 5.
STRANG8 , порядок 9, степень точности 6.
STRANG9 , порядок 12, степень точности 6.
STRANG10 , порядок 13, степень точности 7.
TOMS584_19 , порядок 19, степень точности 8, правило от Алгоритм ACM TOMS # 584.
TOMS612_19 , порядок 19, степень точности 9, линейка от Алгоритм ACM TOMS №612.
TOMS612_28 , порядок 28, степень точности 11, правило от Алгоритм ACM TOMS №612.
TOMS706_37 , порядок 37, степень точности 13, правило от Алгоритм ACM TOMS №706.
VERTEX , правило вершин, порядок 3, степень точности 1.
Вы можете подняться на один уровень до страницу НАБОРЫ ДАННЫХ.
Последний раз редактировалось 28 сентября 2010 г.
(PDF) Квадратура Гаусса Лежандра над треугольником
J. Indian Inst. Наук, сентябрь – октябрь. 2004, 84, 183–188
© Индийский институт науки.
* Автор для переписки.
Краткое сообщение
Квадратура Гаусса Лежандра над треугольником
Х. Т. РАТОД
1
*, К. В. НАГАРАЯ
2
, Б. ВЕНКАТЕСУДУ
3
И Н.Л. РАМЕШ
4
1
Департамент математики, кампус Центрального колледжа, Бангалорский университет, Бангалор 560 001, Индия.
2
Департамент математики, Институт технологии и науки Амрита, Бангалор 560 037, Индия.
3
Математический факультет Оксфордского инженерного колледжа, Бангалор 560 068, Индия.
4
Департамент математики, Технологический институт М. С. Рамая (MSRIT), Бангалор 560 068, Индия.
адреса электронной почты:
1
2
3
4
[email protected]; Телефоны:
1
+ 91-80-23591441;
2
+ 91-80-26538093;
3
+ 91-80-26680523;
4
+ 91-80-23621607.
Поступило 17.11.2003 г .; Отредактировано 6 апреля 2004 г.
Abstract
В данной статье представлен квадратурный метод Гаусса-Лежандра для численного интегрирования по стандартной треугольной поверхности
: {(x, y)
xyxy
в декартовом двумерном (x, y) пространстве. Математическое преобразование
из пространства (x, y) в пространство (ξ, η) отображает стандартный треугольник в пространстве (x, y) в стандартный двумерный квадрат в пространстве (ξ, η)
: {(ξ , η) | –1 ≤ ξ, η ≤ 1}. Это преодолевает трудности, связанные с получением новых весовых коэффициентов и точек выборки, и дает точные и надежные результаты.Результаты, полученные с новыми формулами
, сравниваются с существующими формулами.
Ключевые слова: метод конечных элементов, численное интегрирование, квадратура Гаусса-Лежандра, треугольные элементы, стандартный 2-квадрат
, расширенное численное интегрирование.
1. Введение
В последние годы метод конечных элементов (МКЭ) стал очень мощным инструментом для приближенного решения
краевых задач, управляющих различными физическими явлениями.
Его широко используют в промышленности и исследованиях, и без него многие практические проблемы в науке и технике
не могут быть решены. Треугольные элементы с прямыми или изогнутыми сторонами
очень широко используются в конечно-элементном анализе. Универсальность
этих треугольных элементов может быть дополнительно увеличена за счет улучшенного численного интегрирования схем
. В FEM различные интегралы должны определяться численно при оценке
матрицы жесткости, матрицы масс, вектора объемной силы и т. Д.
Основная задача интегрирования произвольной функции двух переменных по поверхности треугольника
была впервые предложена Хаммером и др. [1] и Хаммер и Страуд [2, 3]. С появлением
метода конечных элементов треугольные элементы оказались универсальными.
вызывает значительный интерес в области схем численного интегрирования по треугольникам. Каупер [4]
предоставил таблицу квадратурных формул Гаусса для симметрично расположенных точек интегрирования.
| Как крупный международный издатель академических и исследовательских журналов Science Alert издает и разрабатывает названия в партнерстве с самыми престижные научные общества и издатели. Наша цель заключается в том, чтобы максимально широко использовать качественные исследования аудитория. | ||||||
| Мы прилагаем все усилия, чтобы поддержать исследователей которые публикуют в наших журналах.Есть масса информации здесь, чтобы помочь вам публиковаться вместе с нами, а также ценные услуги для авторов, которые уже публиковались у нас. | ||||||
| 2021 цены уже доступны. Ты может получить личную / институциональную подписку перечисленных журналы прямо из Science Alert. В качестве альтернативы вы возможно, пожелает связаться с выбранным вами агентством по подписке.Направляйте заказы, платежи и запросы в службу поддержки. в службу поддержки клиентов журнала Science Alert. | ||||||
| Science Alert гордится своей тесные и прозрачные отношения с обществом. В виде некоммерческий издатель, мы стремимся к самым широким возможное распространение публикуемых нами материалов и на предоставление услуг высочайшего качества нашим издательские партнеры. | ||||||
| Здесь вы найдете ответы на наиболее часто задаваемые вопросы (FAQ), которые мы получили по электронной почте или через контактную форму в Интернете. В зависимости от характера вопросов мы разделили часто задаваемые вопросы на разные категории. | ||||||
| Азиатский индекс научного цитирования (ASCI) стремится предоставить авторитетный, надежный и значимая информация по освещению наиболее важных и влиятельные журналы для удовлетворения потребностей мировых научное сообщество.База данных ASCI также предоставляет ссылку к полнотекстовым статьям до более чем 25000 записей с ссылка на цитированные ссылки. | ||||||
Решение | Квадратура луковиц | Размышляя о геометрии
- На следующем рисунке нарисованы два полукруга: один на стороне \ (AB \) треугольника, а другой - на стороне \ (AC \) треугольника (с центром \ (O \)).Какова площадь синей (заштрихованной) лунки, ограниченной двумя полукругами?
Не имея ни малейшего представления о том, как вычислить площадь луны, лучшее, что мы можем сделать для начала, - это вычислить области, которые мы можем.
Прежде всего, мы раскрасим некоторые другие регионы, чтобы было легче говорить о них:
Красная область представляет собой прямоугольный треугольник с площадью \ (\ frac {1} {2} \ times2 \ times2 = 2 \). 2 = \ pi \).2 = \ пи \).
Соединяя их вместе, мы находим \ [\ text {red} + \ text {magenta} = \ text {blue} + \ text {magenta} \; ({} = \ pi) \], так что красная и синяя области равны.
Таким образом, у синей луны есть площадь \ (2 \), такая же, как у красного треугольника.
В качестве бонуса, можете ли вы построить на диаграмме квадрат с той же площадью, что и синяя луна, используя только линейку (линейку) и циркуль? Это называется квадратурой (превращение в квадрат) луны .
Квадрат должен иметь площадь \ (2 \), поэтому длина стороны \ (\ sqrt {2} \).Один из способов построить это - заметить, что гипотенуза красного треугольника имеет длину \ (2 \ sqrt {2} \), поэтому половина ее имеет длину \ (\ sqrt {2} \). Мы можем найти середину \ (AB \), используя стандартную линейку и конструкцию циркуля (см., Например, BBC Bitesize, если вы не помните, как это сделать). Тогда присоединение этой точки к \ (O \) дает две стороны квадрата. Повторение этого со стороной \ (BC \) завершает работу, как показано красным квадратом на этой диаграмме:
Другой способ подумать об этом: красный треугольник - это четверть квадрата \ (ABCD \), где \ (D \) - четвертая точка, противоположная \ (B \).Тогда красный треугольник имеет ту же площадь, что и квадрат с половиной длины ребра \ (ABCD \).
Обратите внимание, что фактическая длина сторон в основном не важна для этого вопроса: синяя луна всегда будет иметь ту же площадь, что и красный треугольник в этой конфигурации.
- На следующем рисунке нарисованы три полукруга, по одному на каждой из сторон прямоугольного треугольника \ (6 \) - \ (8 \) - \ (10 \). Какова общая площадь двух цветных (заштрихованных) лунок на рисунке?
Мы раскрасим различные регионы, как и раньше.2 = \ frac {16} {2} \ pi \).
Если сложить их вместе, как и раньше, получим \ [\ text {красный} + \ text {оба пурпурных} = \ text {синий} + \ text {зеленый} + \ text {оба пурпурный} \; ({} = \ frac {25} {2} \ pi) \]
Следовательно, синяя и зеленая лунки вместе равны красному треугольнику, площадь которого равна \ (24 \).
Историческую справку по этой проблеме и примечание по вопросу 3 см. В разделе «Историческая справка».
симметричных квадратурных правил для треугольников.
TRIANGLE_SYMQ_RULE - Симметричные квадратурные правила для треугольников.TRIANGLE_SYMQ_RULE это библиотека C ++, которая возвращает симметричные квадратурные правила, с точностью до общей степени 50, над внутренностью произвольного треугольника в 2D, Хун Сяо и Жидрунас Гимбутас.
Исходный исходный код, из которого была разработана эта библиотека, можно получить в Лаборатории математики и вычислений Куранта по адресу: http: //www.cims.nyu.edu / cmcl / quadratures / quadratures.html,
Лицензирование:
Компьютерный код и файлы данных, доступные на этом веб-страницы распространяются под лицензия GNU LGPL.
Языки:
TRIANGLE_SYMQ_RULE доступен в версия C и версия C ++ и версия FORTRAN90 и версия MATLAB.
Связанные данные и программы:
ANNULUS_RULE, библиотека C ++, которая вычисляет квадратурное правило для оценки интегралов функции над внутренней частью кругового кольца в 2D.
CUBE_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает точки и веса квадратурного правила Фелиппа над внутренней частью куба в 3D.
ГНУПЛОТ, Программы на C ++, которые проиллюстрировать, как программа может записывать данные и командные файлы так что gnuplot может создавать графики результатов программы.
PYRAMID_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила Фелиппы для аппроксимации интегралов над внутренней частью пирамиды в 3D.
SIMPLEX_GM_RULE, библиотека C ++, которая определяет квадратурные правила Грундмана-Меллера над внутренней частью симплекса в размерах M.
SQUARE_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает точки и веса квадратурного правила Фелиппа над внутренней частью квадрата в 2D.
SQUARE_SYMQ_RULE, библиотека C ++, которая возвращает симметричные квадратурные правила, с точностью до общей степени 20, над внутренней частью симметричного квадрата в 2D, Хун Сяо и Жидрунас Гимбутас.
ШТАНГ, библиотека C ++, которая определяет квадратурные правила для множества M-мерных областей, включая внутреннюю часть квадрата, куба и гиперкуба, пирамиды, конус и эллипс, шестиугольник, М-мерный октаэдр, круг, сфера и гиперсфера, треугольник, тетраэдр и симплекс, и поверхность круга, сферы и гиперсферы.
TETRAHEDRON_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила Фелиппы для аппроксимации интегралов над внутренней частью тетраэдра в 3D.
TOMS886, г. библиотека C ++, которая определяет точки Падуи для интерполяции в 2D области, включая прямоугольник, треугольник и эллипс, Марко Калиари, Стефано де Марчи, Марко Вианелло. Это версия алгоритма 886 ACM TOMS.
TRIANGLE_ANALYZE, программа на C ++, которая считывает треугольник, определенный в файле, и использует функцию triangle_properties () библиотека для вычисления углов, площади, центра тяжести, описанной окружности, длин ребер, вписанная окружность, ориентация, ортоцентр и качество.
TRIANGLE_DUNAVANT_RULE, библиотека C ++, которая определяет правила Дюнавана для квадратуры над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_FEKETE_RULE, библиотека C ++, которая определяет правила Фекете для интерполяции или квадратуры над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила Фелиппы для аппроксимации интегралов над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_INTEGRALS, библиотека C ++, которая возвращает точное значение интеграла любого одночлена над внутренней частью единичного треугольника в 2D.
TRIANGLE_LYNESS_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила Лайнесса-Джесперсена над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_MONTE_CARLO, библиотека C ++, которая использует метод Монте-Карло для оценки интеграла функции над внутренней частью единичного треугольника в 2D.
TRIANGLE_NCC_RULE, библиотека C ++, которая определяет квадратурные правила Ньютона-Котеса (NCC) над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_NCO_RULE, библиотека C ++, которая определяет квадратурные правила Newton-Cotes Open (NCO) над внутренней частью треугольника в 2D.
TRIANGLE_WANDZURA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила точности 5, 10, 15, 20, 25 и 30 над внутренней частью треугольника в 2D.
WEDGE_FELIPPA_RULE, библиотека C ++, которая возвращает квадратурные правила для аппроксимации интегралов над внутренней частью клина агрегата в 3D.
Справка:
- Хун Сяо, Жидрунас Гимбутас,
Численный алгоритм построения эффективной квадратуры правила в двух и более высоких измерениях,
«Компьютеры и математика с приложениями»,
, том 59, 2010 г., страницы 663-676.
Исходный код:
Примеры и тесты:
EQUI08 - это правило восьмой степени в равностороннем треугольнике.
SIMP08 - это симплексное правило степени 8.
USER08 - это правило степени 8 в указанном пользователем треугольнике в (1,0), (4,4), (0,3).
Список программ:
- KJACOPOLS2 вычисляет многочлены Якоби и производные.
- KJACOPOLS вычисляет многочлены Якоби.
- KLEGEYPOLS3 вычисляет масштабированные полиномы Лежандра и производные.
- KLEGEYPOLS вычисляет масштабированные полиномы Лежандра.
- ORTHO2EVA0 вычисляет ортонормированные полиномы на треугольнике.
- ORTHO2EVA30: ортонормированный многочлен и производные на треугольнике.
- ORTHO2EVA3: Значения ортогонального многочлена и производные, справочный треугольник.
- ORTHO2EVA вычисляет ортогональные многочлены на контрольном треугольнике.
- QUAECOPY2 копирует квадратурное правило в пользовательские массивы X, Y и W.
- QUAECOPY копирует квадратурное правило в пользовательские массивы Z и W.
- QUAEINSIDE проверяет, находится ли точка внутри треугольника.
- QUAENODES2 расширяет узлы с 1/6 до 1/3 треугольника.
- КВАЭНОДЫ расширяет узлы до ссылочного треугольника.
- QUAEQUAD0 возвращает запрошенное квадратурное правило.
- QUAEQUAD возвращает симметричную квадратурную формулу для ссылочного треугольника.
- QUAEROTATE применяет вращение.
- R8VEC_COPY копирует R8VEC.
- R8VEC_UNIFORM_01 возвращает единичный псевдослучайный R8VEC.
- REF_TO_KOORN отображает точки из ссылки на треугольник Коорнвиндера.
- REF_TO_TRIANGLE отображает точки из контрольного треугольника в треугольник.
- RULE_COMPRESSED_SIZE возвращает сжатый размер запрошенного квадратурного правила.
- RULE_FULL_SIZE возвращает полный размер запрошенного квадратурного правила.
- RULE01 возвращает правило степени 1.
- RULE02 возвращает правило степени 2.
- RULE03 возвращает правило степени 3.
- RULE04 возвращает правило степени 4.
- RULE05 возвращает правило степени 5.
- RULE06 возвращает правило степени 6.
- RULE07 возвращает правило степени 7.
- RULE08 возвращает правило степени 8.
- RULE09 возвращает правило степени 9.
- RULE10 возвращает правило степени 10.
- RULE11 возвращает правило степени 11.
- RULE12 возвращает правило степени 12.
- ПРАВИЛО13 возвращает правило степени 13.
- RULE14 возвращает правило степени 14.
- RULE15 возвращает правило степени 15.
- RULE16 возвращает правило степени 16.
- RULE17 возвращает правило степени 17.
- RULE18 возвращает правило степени 18.
- RULE19 возвращает правило степени 19.
- RULE20 возвращает правило степени 20.
- ПРАВИЛО21 возвращает правило степени 21.
- RULE22 возвращает правило степени 22.
- RULE23 возвращает правило степени 23.
- RULE24 возвращает правило степени 24.
- RULE25 возвращает правило степени 25.
- RULE26 возвращает правило степени 26.
- ПРАВИЛО27 возвращает правило степени 29.
- RULE28 возвращает правило степени 28.
- ПРАВИЛО29 возвращает правило степени 29.
- RULE30 возвращает правило степени 30.
- RULE31 возвращает правило степени 31.
- RULE32 возвращает правило степени 32.
- RULE33 возвращает правило степени 33.
- RULE34 возвращает правило степени 34.
- RULE35 возвращает правило степени 35.
- RULE36 возвращает правило степени 36.
- RULE37 возвращает правило степени 37.
- RULE38 возвращает правило степени 38.
- RULE39 возвращает правило степени 39.
- RULE40 возвращает правило степени 40.
- RULE41 возвращает правило степени 41.
- RULE42 возвращает правило степени 42.
- ПРАВИЛО 43 возвращает правило степени 43.
- RULE44 возвращает правило степени 44.
- RULE45 возвращает правило степени 45.
- RULE46 возвращает правило степени 46.
- RULE47 возвращает правило 47 степени.
- RULE48 возвращает правило степени 48.
- RULE49 возвращает правило степени 49.
- RULE50 возвращает правило степени 50.
- SIMPLEX_TO_TRIANGLE отображает точки симплекса в треугольник.
- TIMESTAMP распечатывает текущую дату YMDHMS в качестве отметки времени.
- TRIANGLE_AREA возвращает площадь треугольника.
- TRIANGLE_TO_REF отображает точки из любого треугольника в контрольный треугольник.
- TRIANGLE_TO_SIMPLEX отображает точки любого треугольника на симплекс.
- TRIANMAP отображает правила из справочного треугольника в пользовательский треугольник.
- TRIASIMP отображает точку опорного треугольника на симплекс.
- TRIASYMQ возвращает симметричную квадратурную формулу для пользовательского треугольника.
- TRIASYMQ_GNUPLOT: устанавливает график GNUPLOT для правила квадратуры треугольника.
Вы можете подняться на один уровень до исходные коды C ++.
Последняя редакция 30 июня 2014 г.
1. Числовая квадратура - конечно-элементный курс 2021.0 документация
Имперские студенты также могут посмотреть это видео на Panopto
.Основная вычислительная операция, которую мы рассматриваем в Метод конечных элементов - это интегрирование функции по известному ссылочный элемент. Поэтому неудивительно, что этот операция будет в основе нашей реализации конечных элементов.
Обычный способ эффективного численного вычисления произвольных интегралов числовая квадратура.n) \) где \ (h \) - диаметр элемента.
Если \ (f \) - многочлен от \ (X \) со степенью \ (p \) такой, что \ (p \ leq n-2 \), то легко показать, что интегрирование с помощью квадратурное правило степени \ (n \) приводит к точно нулевой ошибке.
Определение 1.15.
Степень точности квадратурного правила является наибольшим \ (p \) такое, что квадратурное правило интегрирует все многочлены степени \ (p \) без ошибок.
1.1. Точная и неполная квадратура
В методе конечных элементов подынтегральные выражения очень часто полином. Если квадратурное правило, используемое для определенного интервала имеет достаточно высокую степень точности, так что нет квадратурную ошибку интегрирования, мы называем квадратуру как точное или полное . В любом другом случае мы будем называть квадратуру как неполное .
Как правило, квадратурные правила более высокой степени имеют больше квадратурных точек. чем правила более низкой степени.Это приводит к компромиссу между точность квадратурного правила и количество функций оценки и, следовательно, вычислительные затраты на интеграцию с использованием это правило. Полная квадратура приводит к меньшим ошибкам, но если ошибка из-за неполной квадратуры мала по сравнению с другими ошибками в моделировании, особенно по сравнению с дискретизацией ошибка, тогда неполная квадратура может быть выгодна.
1.2. Примеры в одном измерении
Имперские студенты также могут посмотреть это видео на Panopto
.Мы отметили выше, что несколько одномерных квадратурных правил обычно преподается на вводных интеграционных курсах.5) \]
1.3. Справочные элементы
Имперские студенты также могут посмотреть это видео на Panopto
.На практике мы хотим записать квадратурные правила как массивы чисел, не зависящие от \ (h \). Для этого мы напишем квадратурные правила для одной ссылки элемент . Когда мы действительно хотим интегрировать функцию по ячейке, мы изменит координаты на опорную ячейку. Мы вернемся к механика этого процесса позже, а пока это означает, что нам нужно учитывайте только квадратурные правила для выбранных нами опорных ячеек.
Обычно используемой одномерной эталонной ячейкой является интервал \ ([0,1] \), и это тот, который мы будем использовать здесь ( другой популярной альтернативой является интервал \ ([- 1, 1] \), который некоторые предпочитаю из-за его симметрии относительно происхождения).
В двух измерениях чаще всего используются ячейки в виде треугольников и четырехугольники. Для простоты в этом курсе мы будем рассматривать только реализация метода конечных элементов на треугольниках. Выбор эталонный интервал подразумевает естественный выбор эталонного треугольника.Для единичному интервалу естественное соответствие имеет треугольник с вершины \ ([(0,0), (1,0), (0,1)] \), хотя разные варианты возможна нумерация вершин.
1,4. Реализации ссылочных элементов в Python
Класс ReferenceCell обеспечивает
Объекты Python, кодирующие геометрию и топологию ссылки
клетка. На этом этапе актуальной информацией является измерение
ссылочная ячейка и список вершин. Топология станет
важно, когда мы рассматриваем сетки.Контрольные ячейки мы будем
для этого курса требуются ReferenceInterval и Артикул: Треугольник .
1,5. Квадратурные правила на опорных элементах
Имперские студенты также могут посмотреть это видео на Panopto
.Приняв соглашение для ссылочного элемента, мы можем просто выразить квадратурные правила как списки квадратурных точек с соответствующие квадратурные веса. Например, правило Симпсона становится:
. (1.8) \ [\ begin {align} \ begin {align} w = \ left [\ frac {1} {6}, \ frac {2} {3}, \ frac {1} {6} \ right] \\ X = \ left [(0), (0.5), (1) \ right]. \ End {align} \ end {align} \]Мы решили записывать квадратурные точки как кортежи из единиц для согласованности. с \ (n \) -мерным случаем, в котором точки будут \ (n \) - кортежи.
Квадратурное правило самого низкого порядка в контрольном треугольнике - это одна точка. квадратура:
(1.9) \ [\ begin {align} \ begin {align} w = \ left [\ frac {1} {2} \ right] \\ X = \ left [\ left (\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3} \ right) \ right] \ end {align} \ end {align} \]Это правило имеет степень точности 1.
Подсказка
Веса квадратурного правила всегда суммируются с объемом ссылочный элемент. Почему это?
1,6. Квадратура Лежандра-Гауса в одном измерении
Метод конечных элементов приведет к подынтегральным выражениям различных полиномиальных степеней, поэтому удобно, если у нас есть доступ к квадратурные правила произвольной степени по запросу. В одном измерении Квадратурные правила Лежандра-Гауса - это семейство правил произвольной точности, которые мы можем использовать для этого цель.К счастью, numpy предоставляет реализацию которые мы можем принять. Квадратурные правила Лежандра-Гауса таковы: обычно определяется для интервала \ ([- 1, 1] \), поэтому нам нужно изменить координаты, чтобы прийти к квадратурному правилу для нашей справки интервал:
(1.10) \ [\ begin {align} \ begin {выровнено} X_q = \ frac {X'_q + 1} {2} \\ w_q = \ frac {w'_q} {2} \ end {выровнено} \ end {выровнять} \], где \ ((\ {X'_q \}, \ {w'_q \}) \) - квадратурное правило на интервале \ ([- 1, 1] \) и \ ((\ {X_q \}, \ {w_q \}) \) - правило для единичного интервала.
Квадратура Лежандра-Гаусса на интервале оптимальна в том смысле, что в ней используется минимально возможное количество точек для каждой степени точности.
1,7. Расширение квадратуры Лежандра-Гаусса до двух измерений
Мы можем образовать единичный квадрат, взяв декартово произведение двух единиц. интервалы: \ ((0, 1) \ otimes (0, 1) \). Аналогичным образом мы можем составить квадратурную Правило на единичном квадрате, взяв произведение двух интервальных квадратур правила:
(1.11) \ [\ begin {align} \ begin {align} X_ \ textrm {sq} = \ left \ {(x_p, x_q) \ \ middle | \ x_p, x_q \ in X \ right \} \\ w_ \ textrm {sq} = \ left \ {w_p w_q \ \ middle | \ w_p, w_q \ in w \ right \} \ end {align} \ end {align} \], где \ ((X, w) \) - интервальное квадратурное правило.Кроме того, степень точности \ ((X_ \ textrm {sq}, w_ \ textrm {sq}) \) будет такой же, как что из одномерного правила.
Однако нам нужно квадратурное правило для единичного треугольника. Мы можем добиться этого, рассматривая треугольник как квадрат с нулевой длиной край. Преобразование Даффи преобразует единичный квадрат в единичный треугольник:
(1.12) \ [(x_ \ textrm {tri}, \ y_ \ textrm {tri}) = \ left (x_ \ textrm {sq}, \ y_ \ textrm {sq} (1 - x_ \ textrm {sq}) \ right) \]Рис. 1.5 Преобразование Даффи преобразует квадрат в треугольник, свернув одну сторону.
Составив преобразование Даффи с (1.11), мы можем получить по правилу квадратур для треугольника:
(1.13) \ [\ begin {align} \ begin {align} X_ \ textrm {tri} = \ left \ {\ left (x_p, x_q (1 - x_p) \ right) \ middle | \ x_p \ in X_h, x_q \ in X_v \ right \} \\ w_ \ textrm {tri} = \ left \ {w_p w_q (1 - x_p) \ \ middle | \ w_p \ in w_h, w_q \ in w_v \ right \} \ end {выровнено } \ конец {выравнивание} \], где \ ((X_v, w_v) \) - квадратурное правило эталонного интервала со степенью точности \ (n \) и \ ((X_h, w_h) \) - квадратура опорного интервала правило со степенью точности \ (n + 1 \).Комбинированное квадратурное правило \ ((X_ \ textrm {tri}, w_ \ textrm {tri}) \) тогда будет \ (n \). Дополнительные степень точности, необходимая для \ ((X_h, w_h) \), потому что Даффи преобразование эффективно увеличивает полиномиальную степень подынтегрального выражения одним.
1,8. Реализация квадратурных правил в Python
Имперские студенты также могут посмотреть это видео на Panopto
. Модуль fe_utils.quadrature обеспечивает QuadratureRule класс, который записывает
квадратурные точки и веса для данного Контрольная ячейка .В gauss_quadrature () функция создает
квадратурные правила для заданной степени точности и ссылки
клетка.
Упражнение 1.16
Метод интегрировать () :
осталось нереализованным. Используя (1.4), реализуем этот метод.
Тестовый сценарий для вашего метода находится в каталоге test как test_01_integrate.py . Запустите этот сценарий, чтобы проверить свой код:
py.test test / test_01_integrate.ру
из командной строки Bash.